Ignore:
Timestamp:
2018-12-19T20:46:30+01:00 (22 months ago)
Author:
smasson
Message:

dev_r10164_HPC09_ESIWACE_PREP_MERGE: merge with trunk@10418, see #2133

Location:
NEMO/branches/2018/dev_r10164_HPC09_ESIWACE_PREP_MERGE/doc/latex
Files:
4 edited

Legend:

Unmodified
Added
Removed
  • NEMO/branches/2018/dev_r10164_HPC09_ESIWACE_PREP_MERGE/doc/latex

    • Property svn:ignore set to
      *.aux
      *.bbl
      *.blg
      *.dvi
      *.fdb*
      *.fls
      *.idx
      *.ilg
      *.ind
      *.log
      *.maf
      *.mtc*
      *.out
      *.pdf
      *.toc
      _minted-*
  • NEMO/branches/2018/dev_r10164_HPC09_ESIWACE_PREP_MERGE/doc/latex/NEMO

    • Property svn:ignore set to
      *.aux
      *.bbl
      *.blg
      *.dvi
      *.fdb*
      *.fls
      *.idx
      *.ilg
      *.ind
      *.log
      *.maf
      *.mtc*
      *.out
      *.pdf
      *.toc
      _minted-*
  • NEMO/branches/2018/dev_r10164_HPC09_ESIWACE_PREP_MERGE/doc/latex/NEMO/subfiles

    • Property svn:ignore set to
      *.aux
      *.bbl
      *.blg
      *.dvi
      *.fdb*
      *.fls
      *.idx
      *.ilg
      *.ind
      *.log
      *.maf
      *.mtc*
      *.out
      *.pdf
      *.toc
      _minted-*
  • NEMO/branches/2018/dev_r10164_HPC09_ESIWACE_PREP_MERGE/doc/latex/NEMO/subfiles/annex_C.tex

    r10368 r10419  
    1 \documentclass[../tex_main/NEMO_manual]{subfiles} 
     1\documentclass[../main/NEMO_manual]{subfiles} 
     2 
    23\begin{document} 
    34% ================================================================ 
     
    67\chapter{Discrete Invariants of the Equations} 
    78\label{apdx:C} 
     9 
    810\minitoc 
    911 
     
    1416 
    1517\newpage 
    16 $\ $\newline    % force a new ligne 
    1718 
    1819% ================================================================ 
     
    2526 
    2627fluxes at the faces of a $T$-box: 
    27 \begin{equation*} 
    28 U = e_{2u}\,e_{3u}\; u  \qquad  V = e_{1v}\,e_{3v}\; v  \qquad W = e_{1w}\,e_{2w}\; \omega     \\ 
    29 \end{equation*} 
     28\[ 
     29  U = e_{2u}\,e_{3u}\; u  \qquad  V = e_{1v}\,e_{3v}\; v  \qquad W = e_{1w}\,e_{2w}\; \omega 
     30\] 
    3031 
    3132volume of cells at $u$-, $v$-, and $T$-points: 
    32 \begin{equation*} 
    33 b_u = e_{1u}\,e_{2u}\,e_{3u}  \qquad  b_v = e_{1v}\,e_{2v}\,e_{3v}  \qquad b_t = e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}     \\ 
    34 \end{equation*} 
     33\[ 
     34  b_u = e_{1u}\,e_{2u}\,e_{3u}  \qquad  b_v = e_{1v}\,e_{2v}\,e_{3v}  \qquad b_t = e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t} 
     35\] 
    3536 
    3637partial derivative notation: $\partial_\bullet = \frac{\partial}{\partial \bullet}$ 
     
    4243($i.e.$ $s(k_s) = \eta$ and $s(k_b)=-H$, where $H$ is the bottom depth). 
    4344\begin{flalign*} 
    44  z(k) = \eta - \int\limits_{\tilde{k}=k}^{\tilde{k}=k_s}  e_3(\tilde{k}) \;d\tilde{k} 
    45         = \eta - \int\limits_k^{k_s}  e_3 \;d\tilde{k}  
     45  z(k) = \eta - \int\limits_{\tilde{k}=k}^{\tilde{k}=k_s}  e_3(\tilde{k}) \;d\tilde{k} 
     46  = \eta - \int\limits_k^{k_s}  e_3 \;d\tilde{k} 
    4647\end{flalign*} 
    4748 
    4849Continuity equation with the above notation: 
    49 \begin{equation*} 
    50 \frac{1}{e_{3t}} \partial_t (e_{3t})+ \frac{1}{b_t}  \biggl\{  \delta_i [U] + \delta_j [V] + \delta_k [W] \biggr\} = 0 
    51 \end{equation*} 
     50\[ 
     51  \frac{1}{e_{3t}} \partial_t (e_{3t})+ \frac{1}{b_t}  \biggl\{  \delta_i [U] + \delta_j [V] + \delta_k [W] \biggr\} = 0 
     52\] 
    5253 
    5354A quantity, $Q$ is conserved when its domain averaged time change is zero, that is when: 
    54 \begin{equation*} 
    55 \partial_t \left( \int_D{ Q\;dv } \right) =0 
    56 \end{equation*} 
     55\[ 
     56  \partial_t \left( \int_D{ Q\;dv } \right) =0 
     57\] 
    5758Noting that the coordinate system used ....  blah blah 
    58 \begin{equation*} 
    59 \partial_t \left( \int_D {Q\;dv} \right) =  \int_D { \partial_t \left( e_3 \, Q \right) e_1e_2\;di\,dj\,dk } 
    60                                                        =  \int_D { \frac{1}{e_3} \partial_t \left( e_3 \, Q \right) dv } =0 
    61 \end{equation*} 
     59\[ 
     60  \partial_t \left( \int_D {Q\;dv} \right) =  \int_D { \partial_t \left( e_3 \, Q \right) e_1e_2\;di\,dj\,dk } 
     61  =  \int_D { \frac{1}{e_3} \partial_t \left( e_3 \, Q \right) dv } =0 
     62\] 
    6263equation of evolution of $Q$ written as 
    6364the time evolution of the vertical content of $Q$ like for tracers, or momentum in flux form, 
    6465the quadratic quantity $\frac{1}{2}Q^2$ is conserved when: 
    6566\begin{flalign*} 
    66 \partial_t \left(   \int_D{ \frac{1}{2} \,Q^2\;dv }   \right) 
    67 =&  \int_D{ \frac{1}{2} \partial_t \left( \frac{1}{e_3}\left( e_3 \, Q \right)^2 \right) e_1e_2\;di\,dj\,dk } \\ 
    68 =&  \int_D {         Q   \;\partial_t\left( e_3 \, Q \right) e_1e_2\;di\,dj\,dk }   
    69 -  \int_D { \frac{1}{2} Q^2 \,\partial_t  (e_3) \;e_1e_2\;di\,dj\,dk } \\ 
     67  \partial_t \left(   \int_D{ \frac{1}{2} \,Q^2\;dv }   \right) 
     68  =&  \int_D{ \frac{1}{2} \partial_t \left( \frac{1}{e_3}\left( e_3 \, Q \right)^2 \right) e_1e_2\;di\,dj\,dk } \\ 
     69  =&  \int_D {         Q   \;\partial_t\left( e_3 \, Q \right) e_1e_2\;di\,dj\,dk } 
     70  -  \int_D { \frac{1}{2} Q^2 \,\partial_t  (e_3) \;e_1e_2\;di\,dj\,dk } \\ 
    7071\end{flalign*} 
    7172that is in a more compact form : 
    72 \begin{flalign} \label{eq:Q2_flux} 
    73 \partial_t \left( \int_D {\frac{1}{2} Q^2\;dv} \right) 
    74 =&                   \int_D { \frac{Q}{e_3}  \partial_t \left( e_3 \, Q \right) dv }   
     73\begin{flalign} 
     74  \label{eq:Q2_flux} 
     75  \partial_t \left( \int_D {\frac{1}{2} Q^2\;dv} \right) 
     76  =&                   \int_D { \frac{Q}{e_3}  \partial_t \left( e_3 \, Q \right) dv } 
    7577  -   \frac{1}{2} \int_D {  \frac{Q^2}{e_3} \partial_t (e_3) \;dv } 
    7678\end{flalign} 
     
    7880the quadratic quantity $\frac{1}{2}Q^2$ is conserved when: 
    7981\begin{flalign*} 
    80 \partial_t \left( \int_D {\frac{1}{2} Q^2\;dv} \right) 
    81 =&  \int_D { \frac{1}{2} \partial_t \left( e_3 \, Q^2 \right) \;e_1e_2\;di\,dj\,dk } \\ 
    82 =& \int_D {         Q      \partial_t Q  \;e_1e_2e_3\;di\,dj\,dk }   
    83 +  \int_D { \frac{1}{2} Q^2 \, \partial_t e_3  \;e_1e_2\;di\,dj\,dk } \\ 
     82  \partial_t \left( \int_D {\frac{1}{2} Q^2\;dv} \right) 
     83  =&  \int_D { \frac{1}{2} \partial_t \left( e_3 \, Q^2 \right) \;e_1e_2\;di\,dj\,dk } \\ 
     84  =& \int_D {         Q      \partial_t Q  \;e_1e_2e_3\;di\,dj\,dk } 
     85  +  \int_D { \frac{1}{2} Q^2 \, \partial_t e_3  \;e_1e_2\;di\,dj\,dk } \\ 
    8486\end{flalign*} 
    8587that is in a more compact form: 
    86 \begin{flalign} \label{eq:Q2_vect} 
    87 \partial_t \left( \int_D {\frac{1}{2} Q^2\;dv} \right) 
    88 =& \int_D {         Q   \,\partial_t Q  \;dv }   
    89 +   \frac{1}{2} \int_D { \frac{1}{e_3} Q^2 \partial_t e_3 \;dv } 
     88\begin{flalign} 
     89  \label{eq:Q2_vect} 
     90  \partial_t \left( \int_D {\frac{1}{2} Q^2\;dv} \right) 
     91  =& \int_D {         Q   \,\partial_t Q  \;dv } 
     92  +   \frac{1}{2} \int_D { \frac{1}{e_3} Q^2 \partial_t e_3 \;dv } 
    9093\end{flalign} 
    91  
    9294 
    9395% ================================================================ 
     
    9799\label{sec:C.1} 
    98100 
    99  
    100101The discretization of pimitive equation in $s$-coordinate ($i.e.$ time and space varying vertical coordinate) 
    101102must be chosen so that the discrete equation of the model satisfy integral constrains on energy and enstrophy.  
    102103 
    103  
    104104Let us first establish those constraint in the continuous world. 
    105105The total energy ($i.e.$ kinetic plus potential energies) is conserved: 
    106 \begin{flalign} \label{eq:Tot_Energy} 
     106\begin{flalign} 
     107  \label{eq:Tot_Energy} 
    107108  \partial_t \left( \int_D \left( \frac{1}{2} {\textbf{U}_h}^2 +  \rho \, g \, z \right) \;dv \right)  = & 0 
    108109\end{flalign} 
     
    118119\autoref{eq:Tot_Energy} for the latter form leads to: 
    119120 
    120 \begin{subequations} \label{eq:E_tot} 
    121  
     121% \label{eq:E_tot} 
    122122advection term (vector invariant form): 
    123 \begin{equation} \label{eq:E_tot_vect_vor_1} 
    124 \int\limits_D  \zeta \; \left( \textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right) \cdot \textbf{U}_h  \;  dv   = 0   \\ 
    125 \end{equation} 
     123\[ 
     124  % \label{eq:E_tot_vect_vor_1} 
     125  \int\limits_D  \zeta \; \left( \textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right) \cdot \textbf{U}_h  \;  dv   = 0   \\ 
     126\] 
    126127% 
    127 \begin{equation} \label{eq:E_tot_vect_adv_1} 
    128    \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \nabla_h \left( \frac{{\textbf{U}_h}^2}{2} \right)     dv  
    129 + \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \nabla_z \textbf{U}_h  \;dv     
    130 -  \int\limits_D { \frac{{\textbf{U}_h}^2}{2} \frac{1}{e_3} \partial_t e_3 \;dv }   = 0   \\ 
    131 \end{equation} 
    132  
     128\[ 
     129  % \label{eq:E_tot_vect_adv_1} 
     130  \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \nabla_h \left( \frac{{\textbf{U}_h}^2}{2} \right)     dv 
     131  + \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \nabla_z \textbf{U}_h  \;dv 
     132  -  \int\limits_D { \frac{{\textbf{U}_h}^2}{2} \frac{1}{e_3} \partial_t e_3 \;dv }   = 0 
     133\] 
    133134advection term (flux form): 
    134 \begin{equation} \label{eq:E_tot_flux_metric} 
    135 \int\limits_D  \frac{1} {e_1 e_2 } \left( v \,\partial_i e_2 - u \,\partial_j e_1  \right)\;  
    136  \left(  \textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right) \cdot \textbf{U}_h  \;  dv   = 0   \\ 
    137 \end{equation} 
    138  
    139 \begin{equation} \label{eq:E_tot_flux_adv} 
    140    \int\limits_D \textbf{U}_h \cdot     \left(                 {{\begin{array} {*{20}c} 
    141 \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,u \right) \hfill \\ 
    142 \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,v \right) \hfill \\       \end{array}} }           \right)   \;dv  
    143 +   \frac{1}{2} \int\limits_D {  {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \partial_t e_3 \;dv } =\;0  \\ 
    144 \end{equation} 
    145  
     135\[ 
     136  % \label{eq:E_tot_flux_metric} 
     137  \int\limits_D  \frac{1} {e_1 e_2 } \left( v \,\partial_i e_2 - u \,\partial_j e_1  \right)\; 
     138  \left(  \textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right) \cdot \textbf{U}_h  \;  dv   = 0 
     139\] 
     140\[ 
     141  % \label{eq:E_tot_flux_adv} 
     142  \int\limits_D \textbf{U}_h \cdot     \left(                 {{ 
     143        \begin{array} {*{20}c} 
     144          \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,u \right) \hfill \\ 
     145          \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,v \right) \hfill 
     146        \end{array}} 
     147    }           \right)   \;dv 
     148  +   \frac{1}{2} \int\limits_D {  {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \partial_t e_3 \;dv } =\;0 
     149\] 
    146150coriolis term 
    147 \begin{equation} \label{eq:E_tot_cor} 
    148 \int\limits_D  f   \; \left( \textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right) \cdot \textbf{U}_h  \;  dv   = 0   \\ 
    149 \end{equation} 
    150  
     151\[ 
     152  % \label{eq:E_tot_cor} 
     153  \int\limits_D  f   \; \left( \textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right) \cdot \textbf{U}_h  \;  dv   = 0 
     154\] 
    151155pressure gradient: 
    152 \begin{equation} \label{eq:E_tot_pg_1} 
    153    - \int\limits_D  \left. \nabla p \right|_z \cdot \textbf{U}_h \;dv  
    154 = - \int\limits_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
    155    + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z  \;dv   \\ 
    156 \end{equation} 
     156\[ 
     157  % \label{eq:E_tot_pg_1} 
     158  - \int\limits_D  \left. \nabla p \right|_z \cdot \textbf{U}_h \;dv 
     159  = - \int\limits_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
     160  + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z  \;dv 
     161\] 
     162 
     163where $\nabla_h = \left. \nabla \right|_k$ is the gradient along the $s$-surfaces. 
     164 
     165blah blah.... 
     166 
     167The prognostic ocean dynamics equation can be summarized as follows: 
     168\[ 
     169  \text{NXT} = \dbinom  {\text{VOR} + \text{KEG} + \text {ZAD} } 
     170  {\text{COR} + \text{ADV}                       } 
     171  + \text{HPG} + \text{SPG} + \text{LDF} + \text{ZDF} 
     172\] 
     173 
     174Vector invariant form: 
     175% \label{eq:E_tot_vect} 
     176\[ 
     177  % \label{eq:E_tot_vect_vor_2} 
     178  \int\limits_D   \textbf{U}_h \cdot \text{VOR} \;dv   = 0 
     179\] 
     180\[ 
     181  % \label{eq:E_tot_vect_adv_2} 
     182  \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \text{KEG}  \;dv 
     183  + \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \text{ZAD}  \;dv 
     184  -  \int\limits_D { \frac{{\textbf{U}_h}^2}{2} \frac{1}{e_3} \partial_t e_3 \;dv }   = 0 
     185\] 
     186\[ 
     187  % \label{eq:E_tot_pg_2} 
     188  - \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot (\text{HPG}+ \text{SPG}) \;dv 
     189  = - \int\limits_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
     190  + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z  \;dv 
     191\] 
     192 
     193Flux form: 
     194\begin{subequations} 
     195  \label{eq:E_tot_flux} 
     196  \[ 
     197    % \label{eq:E_tot_flux_metric_2} 
     198    \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \text {COR} \;  dv   = 0 
     199  \] 
     200  \[ 
     201    % \label{eq:E_tot_flux_adv_2} 
     202    \int\limits_D \textbf{U}_h \cdot \text{ADV}   \;dv 
     203    +   \frac{1}{2} \int\limits_D {  {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \partial_t e_3  \;dv } =\;0 
     204  \] 
     205  \begin{equation} 
     206    \label{eq:E_tot_pg_3} 
     207    - \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot (\text{HPG}+ \text{SPG}) \;dv 
     208    = - \int\limits_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
     209    + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t  z  \;dv 
     210  \end{equation} 
    157211\end{subequations} 
    158  
    159 where $\nabla_h = \left. \nabla \right|_k$ is the gradient along the $s$-surfaces. 
    160  
    161 blah blah.... 
    162 $\ $\newline    % force a new ligne 
    163 The prognostic ocean dynamics equation can be summarized as follows: 
    164 \begin{equation*} 
    165 \text{NXT} = \dbinom {\text{VOR} + \text{KEG} + \text {ZAD} } 
    166                   {\text{COR} + \text{ADV}                       } 
    167          + \text{HPG} + \text{SPG} + \text{LDF} + \text{ZDF} 
    168 \end{equation*} 
    169 $\ $\newline    % force a new ligne 
    170  
    171 Vector invariant form: 
    172 \begin{subequations} \label{eq:E_tot_vect} 
    173 \begin{equation} \label{eq:E_tot_vect_vor_2} 
    174 \int\limits_D   \textbf{U}_h \cdot \text{VOR} \;dv   = 0   \\ 
    175 \end{equation} 
    176 \begin{equation} \label{eq:E_tot_vect_adv_2} 
    177    \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \text{KEG}  \;dv  
    178 + \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \text{ZAD}  \;dv     
    179 -  \int\limits_D { \frac{{\textbf{U}_h}^2}{2} \frac{1}{e_3} \partial_t e_3 \;dv }   = 0   \\ 
    180 \end{equation} 
    181 \begin{equation} \label{eq:E_tot_pg_2} 
    182    - \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot (\text{HPG}+ \text{SPG}) \;dv  
    183 = - \int\limits_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
    184    + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z  \;dv   \\ 
    185 \end{equation} 
    186 \end{subequations} 
    187  
    188 Flux form: 
    189 \begin{subequations} \label{eq:E_tot_flux} 
    190 \begin{equation} \label{eq:E_tot_flux_metric_2} 
    191 \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot \text {COR} \;  dv   = 0   \\ 
    192 \end{equation} 
    193 \begin{equation} \label{eq:E_tot_flux_adv_2} 
    194    \int\limits_D \textbf{U}_h \cdot \text{ADV}   \;dv  
    195 +   \frac{1}{2} \int\limits_D {  {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \partial_t e_3  \;dv } =\;0  \\ 
    196 \end{equation} 
    197 \begin{equation} \label{eq:E_tot_pg_3} 
    198    - \int\limits_D  \textbf{U}_h \cdot (\text{HPG}+ \text{SPG}) \;dv  
    199 = - \int\limits_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
    200    + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t  z  \;dv   \\ 
    201 \end{equation} 
    202 \end{subequations} 
    203  
    204  
    205 $\ $\newline    % force a new ligne 
    206  
    207212 
    208213\autoref{eq:E_tot_pg_3} is the balance between the conversion KE to PE and PE to KE.  
    209214Indeed the left hand side of \autoref{eq:E_tot_pg_3} can be transformed as follows: 
    210215\begin{flalign*} 
    211 \partial_t  \left( \int\limits_D { \rho \, g \, z  \;dv} \right)  
    212 &= + \int\limits_D \frac{1}{e_3} \partial_t (e_3\,\rho) \;g\;z\;\;dv 
    213      +  \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z  \;dv   &&&\\ 
    214 &= - \int\limits_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
    215      + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z \;dv   &&&\\ 
    216 &= + \int\limits_D  \rho \,g \left( \textbf {U}_h \cdot \nabla_h z + \omega \frac{1}{e_3} \partial_k z \right)  \;dv 
    217      + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z \;dv   &&&\\ 
    218 &= + \int\limits_D  \rho \,g \left( \omega + \partial_t z + \textbf {U}_h \cdot \nabla_h z  \right)  \;dv  &&&\\ 
    219 &=+  \int\limits_D g\, \rho \; w \; dv   &&&\\ 
     216  \partial_t  \left( \int\limits_D { \rho \, g \, z  \;dv} \right) 
     217  &= + \int\limits_D \frac{1}{e_3} \partial_t (e_3\,\rho) \;g\;z\;\;dv 
     218  +  \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z  \;dv   &&&\\ 
     219  &= - \int\limits_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
     220  + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z \;dv   &&&\\ 
     221  &= + \int\limits_D  \rho \,g \left( \textbf {U}_h \cdot \nabla_h z + \omega \frac{1}{e_3} \partial_k z \right)  \;dv 
     222  + \int\limits_D g\, \rho \; \partial_t z \;dv   &&&\\ 
     223  &= + \int\limits_D  \rho \,g \left( \omega + \partial_t z + \textbf {U}_h \cdot \nabla_h z  \right)  \;dv  &&&\\ 
     224  &=+  \int\limits_D g\, \rho \; w \; dv   &&&\\ 
    220225\end{flalign*} 
    221226where the last equality is obtained by noting that the brackets is exactly the expression of $w$,  
     
    224229The left hand side of \autoref{eq:E_tot_pg_3} can be transformed as follows: 
    225230\begin{flalign*} 
    226 - \int\limits_D  \left. \nabla p \right|_z & \cdot \textbf{U}_h \;dv   
    227 = - \int\limits_D  \left( \nabla_h p + \rho \, g \nabla_h z \right) \cdot \textbf{U}_h \;dv   &&&\\ 
    228 \allowdisplaybreaks 
    229 &= - \int\limits_D  \nabla_h  p \cdot \textbf{U}_h \;dv   - \int\limits_D  \rho \, g \, \nabla_h z \cdot \textbf{U}_h \;dv   &&&\\ 
    230 \allowdisplaybreaks 
    231 &= +\int\limits_D p \,\nabla_h \cdot \textbf{U}_h \;dv   + \int\limits_D  \rho \, g \left( \omega - w + \partial_t z \right) \;dv   &&&\\ 
    232 \allowdisplaybreaks 
    233 &= -\int\limits_D p \left( \frac{1}{e_3} \partial_t e_3 + \frac{1}{e_3} \partial_k \omega  \right) \;dv 
    234     +\int\limits_D  \rho \, g \left( \omega - w + \partial_t z \right) \;dv   &&&\\ 
    235 \allowdisplaybreaks 
    236 &= -\int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3  \;dv     
    237      +\int\limits_D \frac{1}{e_3} \partial_k p\; \omega \;dv 
    238     +\int\limits_D  \rho \, g \left( \omega - w + \partial_t z \right) \;dv   &&&\\ 
    239 &= -\int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3  \;dv     
    240      -\int\limits_D \rho \, g \, \omega \;dv 
    241     +\int\limits_D  \rho \, g \left( \omega - w + \partial_t z \right) \;dv   &&&\\ 
    242 &= - \int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3 \; \;dv     
    243      - \int\limits_D  \rho \, g \, w \;dv  
    244      + \int\limits_D   \rho \, g \, \partial_t z \;dv   &&&\\ 
    245 \allowdisplaybreaks 
    246 \intertext{introducing the hydrostatic balance $\partial_k p=-\rho \,g\,e_3$ in the last term, 
    247 it becomes:} 
    248 &= - \int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3 \;dv     
    249      - \int\limits_D  \rho \, g \, w \;dv  
    250      - \int\limits_D  \frac{1}{e_3} \partial_k p\, \partial_t z \;dv   &&&\\ 
    251 &= - \int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3 \;dv     
    252      - \int\limits_D  \rho \, g \, w \;dv  
    253      + \int\limits_D \,\frac{p}{e_3}\partial_t ( \partial_k z )  dv   &&&\\ 
    254 %  
    255 &= - \int\limits_D  \rho \, g \, w \;dv   &&&\\ 
    256 \end{flalign*} 
    257  
     231  - \int\limits_D  \left. \nabla p \right|_z & \cdot \textbf{U}_h \;dv 
     232  = - \int\limits_D  \left( \nabla_h p + \rho \, g \nabla_h z \right) \cdot \textbf{U}_h \;dv   &&&\\ 
     233  \allowdisplaybreaks 
     234  &= - \int\limits_D  \nabla_h  p \cdot \textbf{U}_h \;dv   - \int\limits_D  \rho \, g \, \nabla_h z \cdot \textbf{U}_h \;dv   &&&\\ 
     235  \allowdisplaybreaks 
     236  &= +\int\limits_D p \,\nabla_h \cdot \textbf{U}_h \;dv   + \int\limits_D  \rho \, g \left( \omega - w + \partial_t z \right) \;dv   &&&\\ 
     237  \allowdisplaybreaks 
     238  &= -\int\limits_D p \left( \frac{1}{e_3} \partial_t e_3 + \frac{1}{e_3} \partial_k \omega  \right) \;dv 
     239  +\int\limits_D  \rho \, g \left( \omega - w + \partial_t z \right) \;dv   &&&\\ 
     240  \allowdisplaybreaks 
     241  &= -\int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3  \;dv 
     242  +\int\limits_D \frac{1}{e_3} \partial_k p\; \omega \;dv 
     243  +\int\limits_D  \rho \, g \left( \omega - w + \partial_t z \right) \;dv   &&&\\ 
     244  &= -\int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3  \;dv 
     245  -\int\limits_D \rho \, g \, \omega \;dv 
     246  +\int\limits_D  \rho \, g \left( \omega - w + \partial_t z \right) \;dv   &&&\\ 
     247  &= - \int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3 \; \;dv 
     248  - \int\limits_D  \rho \, g \, w \;dv 
     249  + \int\limits_D   \rho \, g \, \partial_t z \;dv   &&&\\ 
     250  \allowdisplaybreaks 
     251  \intertext{introducing the hydrostatic balance $\partial_k p=-\rho \,g\,e_3$ in the last term, 
     252    it becomes:} 
     253  &= - \int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3 \;dv 
     254  - \int\limits_D  \rho \, g \, w \;dv 
     255  - \int\limits_D  \frac{1}{e_3} \partial_k p\, \partial_t z \;dv   &&&\\ 
     256  &= - \int\limits_D \frac{p}{e_3} \partial_t e_3 \;dv 
     257  - \int\limits_D  \rho \, g \, w \;dv 
     258  + \int\limits_D \,\frac{p}{e_3}\partial_t ( \partial_k z )  dv   &&&\\ 
     259  % 
     260  &= - \int\limits_D  \rho \, g \, w \;dv   &&&\\ 
     261\end{flalign*} 
    258262 
    259263%gm comment 
     
    262266The last equality comes from the following equation, 
    263267\begin{flalign*} 
    264 \int\limits_D p \frac{1}{e_3} \frac{\partial e_3}{\partial t}\; \;dv     
    265      = \int\limits_D   \rho \, g \, \frac{\partial z }{\partial t} \;dv \quad,  \\  
     268  \int\limits_D p \frac{1}{e_3} \frac{\partial e_3}{\partial t}\; \;dv 
     269  = \int\limits_D   \rho \, g \, \frac{\partial z }{\partial t} \;dv \quad, 
    266270\end{flalign*} 
    267271that can be demonstrated as follows: 
    268272 
    269273\begin{flalign*} 
    270 \int\limits_D   \rho \, g \, \frac{\partial z }{\partial t} \;dv    
    271 &= \int\limits_D    \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t} \;dv    
     274  \int\limits_D   \rho \, g \, \frac{\partial z }{\partial t} \;dv 
     275  &= \int\limits_D    \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t} \;dv 
    272276  -  \int\limits_D    \rho \, g \, \frac{\partial}{\partial t} \left(  \int\limits_k^{k_s}  e_3 \;d\tilde{k} \right) \;dv   &&&\\ 
    273 &= \int\limits_D    \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t} \;dv    
     277  &= \int\limits_D    \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t} \;dv 
    274278  -  \int\limits_D    \rho \, g    \left(  \int\limits_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k} \right) \;dv   &&&\\ 
    275 % 
    276 \allowdisplaybreaks 
    277 \intertext{The second term of the right hand side can be transformed by applying the integration by part rule:  
    278 $\left[ a\,b \right]_{k_b}^{k_s} = \int_{k_b}^{k_s}  a\,\frac{\partial b}{\partial k}       \;dk 
    279                                                + \int_{k_b}^{k_s}      \frac{\partial a}{\partial k} \,b \;dk $ 
    280 to the following function: $a=  \int_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k}$  
    281 and $b=  \int_k^{k_s}  \rho \, e_3 \;d\tilde{k}$ 
    282 (note that $\frac{\partial}{\partial k} \left(  \int_k^{k_s}  a \;d\tilde{k}  \right) = - a$ as $k$ is the lower bound of the integral). 
    283 This leads to:  } 
    284 \end{flalign*} 
    285 \begin{flalign*} 
    286 &\left[ \int\limits_{k}^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \,dk \cdot \int\limits_{k}^{k_s}  \rho \, e_3 \,dk   \right]_{k_b}^{k_s} 
    287 =-\int\limits_{k_b}^{k_s} \left(  \int\limits_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k} \right)  \rho \,e_3 \;dk 
    288   -\int\limits_{k_b}^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t}  \left(  \int\limits_k^{k_s}  \rho \, e_3 \;d\tilde{k} \right)   dk 
    289 &&&\\ 
    290 \allowdisplaybreaks 
    291 \intertext{Noting that $\frac{\partial \eta}{\partial t}  
    292       = \frac{\partial}{\partial t}  \left( \int_{k_b}^{k_s}   e_3  \;d\tilde{k}  \right) 
    293       = \int_{k_b}^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k}$ 
    294 and  
    295       $p(k) = \int_k^{k_s}  \rho \,g \, e_3 \;d\tilde{k} $,  
    296 but also that $\frac{\partial \eta}{\partial t}$ does not depends on $k$, it comes: 
    297 } 
    298 & - \int\limits_{k_b}^{k_s}  \rho \, \frac{\partial \eta}{\partial t} \, e_3 \;dk 
    299 = - \int\limits_{k_b}^{k_s} \left(  \int\limits_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k} \right)   \, \rho \, g   e_3\;dk 
    300    - \int\limits_{k_b}^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \frac{p}{g}         \;dk       &&&\\ 
     279  % 
     280  \allowdisplaybreaks 
     281  \intertext{The second term of the right hand side can be transformed by applying the integration by part rule: 
     282    $\left[ a\,b \right]_{k_b}^{k_s} = \int_{k_b}^{k_s}  a\,\frac{\partial b}{\partial k}       \;dk 
     283    + \int_{k_b}^{k_s}      \frac{\partial a}{\partial k} \,b \;dk $ 
     284    to the following function: $a=  \int_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k}$ 
     285    and $b=  \int_k^{k_s}  \rho \, e_3 \;d\tilde{k}$ 
     286    (note that $\frac{\partial}{\partial k} \left(  \int_k^{k_s}  a \;d\tilde{k}  \right) = - a$ as $k$ is the lower bound of the integral). 
     287    This leads to:  } 
     288\end{flalign*} 
     289\begin{flalign*} 
     290  &\left[ \int\limits_{k}^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \,dk \cdot \int\limits_{k}^{k_s}  \rho \, e_3 \,dk   \right]_{k_b}^{k_s} 
     291  =-\int\limits_{k_b}^{k_s} \left(  \int\limits_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k} \right)  \rho \,e_3 \;dk 
     292  -\int\limits_{k_b}^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t}  \left(  \int\limits_k^{k_s}  \rho \, e_3 \;d\tilde{k} \right)   dk  &&&\\ 
     293  \allowdisplaybreaks 
     294  \intertext{Noting that $\frac{\partial \eta}{\partial t} 
     295    = \frac{\partial}{\partial t}  \left( \int_{k_b}^{k_s}   e_3  \;d\tilde{k}  \right) 
     296    = \int_{k_b}^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k}$ 
     297    and 
     298    $p(k) = \int_k^{k_s}  \rho \,g \, e_3 \;d\tilde{k} $, 
     299    but also that $\frac{\partial \eta}{\partial t}$ does not depends on $k$, it comes: 
     300  } 
     301  & - \int\limits_{k_b}^{k_s}  \rho \, \frac{\partial \eta}{\partial t} \, e_3 \;dk 
     302  = - \int\limits_{k_b}^{k_s} \left(  \int\limits_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k} \right)   \, \rho \, g   e_3\;dk 
     303  - \int\limits_{k_b}^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \frac{p}{g}         \;dk       &&&\\ 
    301304\end{flalign*} 
    302305Mutliplying by $g$ and integrating over the $(i,j)$ domain it becomes: 
    303306\begin{flalign*} 
    304 \int\limits_D  \rho \, g \, \left(  \int\limits_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k} \right)    \;dv 
    305 =  \int\limits_D  \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t} dv 
     307  \int\limits_D  \rho \, g \, \left(  \int\limits_k^{k_s}  \frac{\partial e_3}{\partial t} \;d\tilde{k} \right)    \;dv 
     308  =  \int\limits_D  \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t} dv 
    306309  - \int\limits_D  \frac{p}{e_3}\frac{\partial e_3}{\partial t}         \;dv 
    307310\end{flalign*} 
    308311Using this property, we therefore have: 
    309312\begin{flalign*} 
    310 \int\limits_D   \rho \, g \, \frac{\partial z }{\partial t} \;dv    
    311 &= \int\limits_D    \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t}   \;dv    
     313  \int\limits_D   \rho \, g \, \frac{\partial z }{\partial t} \;dv 
     314  &= \int\limits_D    \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t}   \;dv 
    312315  - \left(  \int\limits_D  \rho \, g \, \frac{\partial \eta}{\partial t} dv 
    313            - \int\limits_D  \frac{p}{e_3}\frac{\partial e_3}{\partial t}   \;dv  \right)    &&&\\ 
    314 % 
    315 &=\int\limits_D \frac{p}{e_3} \frac{\partial (e_3\,\rho)}{\partial t}\; \;dv      
     316    - \int\limits_D  \frac{p}{e_3}\frac{\partial e_3}{\partial t}   \;dv  \right)    &&&\\ 
     317  % 
     318  &=\int\limits_D \frac{p}{e_3} \frac{\partial (e_3\,\rho)}{\partial t}\; \;dv 
    316319\end{flalign*} 
    317320% end gm comment 
     
    319322% 
    320323 
    321  
    322324% ================================================================ 
    323325% Discrete Total energy Conservation : vector invariant form 
     
    334336The discrete form of the total energy conservation, \autoref{eq:Tot_Energy}, is given by: 
    335337\begin{flalign*} 
    336 \partial_t  \left(  \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \frac{u^2}{2} \,b_u + \frac{v^2}{2}\, b_v +  \rho \, g \, z_t \,b_t  \biggr\} \right) &=0  \\ 
     338  \partial_t  \left(  \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \frac{u^2}{2} \,b_u + \frac{v^2}{2}\, b_v +  \rho \, g \, z_t \,b_t  \biggr\} \right) &=0 
    337339\end{flalign*} 
    338340which in vector invariant forms, it leads to: 
    339 \begin{equation} \label{eq:KE+PE_vect_discrete}   \begin{split} 
    340                         \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   u\,                        \partial_t u         \;b_u  
    341                                                               + v\,                        \partial_t v          \;b_v  \biggr\} 
    342   + \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{u^2}{e_{3u}}\partial_t e_{3u} \;b_u  
    343                                                              +  \frac{v^2}{e_{3v}}\partial_t e_{3v} \;b_v   \biggr\}      \\ 
    344 = - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \frac{1}{e_{3t}}\partial_t (e_{3t} \rho) \, g \, z_t \;b_t  \biggr\}  
    345      - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \rho \,g\,\partial_t (z_t) \,b_t  \biggr\}                                 
    346 \end{split} \end{equation} 
     341\begin{equation} 
     342  \label{eq:KE+PE_vect_discrete} 
     343  \begin{split} 
     344    \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   u\,                        \partial_t u         \;b_u 
     345    + v\,                        \partial_t v          \;b_v  \biggr\} 
     346    + \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{u^2}{e_{3u}}\partial_t e_{3u} \;b_u 
     347    +  \frac{v^2}{e_{3v}}\partial_t e_{3v} \;b_v   \biggr\}      \\ 
     348    = - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \frac{1}{e_{3t}}\partial_t (e_{3t} \rho) \, g \, z_t \;b_t  \biggr\} 
     349    - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \rho \,g\,\partial_t (z_t) \,b_t  \biggr\} 
     350  \end{split} 
     351\end{equation} 
    347352 
    348353Substituting the discrete expression of the time derivative of the velocity either in vector invariant, 
     
    365370 
    366371For the ENE scheme, the two components of the vorticity term are given by: 
    367 \begin{equation*} 
    368 - e_3 \, q \;{\textbf{k}}\times {\textbf {U}}_h    \equiv  
    369    \left( {{  \begin{array} {*{20}c} 
    370       + \frac{1} {e_{1u}} \;  
    371       \overline {\, q \ \overline {\left( e_{1v}\,e_{3v}\,v \right)}^{\,i+1/2}} ^{\,j}        \hfill \\ 
    372       - \frac{1} {e_{2v}} \;  
    373       \overline {\, q \ \overline {\left( e_{2u}\,e_{3u}\,u \right)}^{\,j+1/2}} ^{\,i}       \hfill \\ 
    374    \end{array}} }    \right) 
    375 \end{equation*} 
     372\[ 
     373  - e_3 \, q \;{\textbf{k}}\times {\textbf {U}}_h    \equiv 
     374  \left( {{ 
     375        \begin{array} {*{20}c} 
     376          + \frac{1} {e_{1u}} \; 
     377          \overline {\, q \ \overline {\left( e_{1v}\,e_{3v}\,v \right)}^{\,i+1/2}} ^{\,j}        \hfill \\ 
     378          - \frac{1} {e_{2v}} \; 
     379          \overline {\, q \ \overline {\left( e_{2u}\,e_{3u}\,u \right)}^{\,j+1/2}} ^{\,i}       \hfill 
     380        \end{array} 
     381      } }    \right) 
     382\] 
    376383 
    377384This formulation does not conserve the enstrophy but it does conserve the total kinetic energy. 
     
    379386averaged over the ocean domain can be transformed as follows: 
    380387\begin{flalign*} 
    381 &\int\limits_D -  \left(  e_3 \, q \;\textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right) \cdot \textbf{U}_h  \;  dv &&  \\ 
    382 & \qquad \qquad {\begin{array}{*{20}l}  
    383 &\equiv \sum\limits_{i,j,k}   \biggl\{     
    384      \frac{1} {e_{1u}} \overline { \,q\ \overline{ V }^{\,i+1/2}} ^{\,j} \, u \; b_u  
    385    - \frac{1} {e_{2v}}\overline { \, q\ \overline{ U }^{\,j+1/2}} ^{\,i} \, v \; b_v \; \biggr\}    \\  
    386 &\equiv  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{     
    387      \overline { \,q\ \overline{ V }^{\,i+1/2}}^{\,j} \; U  
    388    - \overline { \,q\ \overline{ U }^{\,j+1/2}}^{\,i} \; V  \; \biggr\}     \\ 
    389 &\equiv \sum\limits_{i,j,k} q \  \biggl\{  \overline{ V }^{\,i+1/2}\; \overline{ U }^{\,j+1/2}         
    390                                               - \overline{ U }^{\,j+1/2}\; \overline{ V }^{\,i+1/2}         \biggr\}  \quad  \equiv 0 
    391 \end{array} }      
     388  &\int\limits_D -  \left(  e_3 \, q \;\textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right) \cdot \textbf{U}_h  \;  dv &&  \\ 
     389  & \qquad \qquad 
     390  { 
     391    \begin{array}{*{20}l} 
     392      &\equiv \sum\limits_{i,j,k}   \biggl\{ 
     393        \frac{1} {e_{1u}} \overline { \,q\ \overline{ V }^{\,i+1/2}} ^{\,j} \, u \; b_u 
     394        - \frac{1} {e_{2v}}\overline { \, q\ \overline{ U }^{\,j+1/2}} ^{\,i} \, v \; b_v \; \biggr\}    \\ 
     395      &\equiv  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{ 
     396        \overline { \,q\ \overline{ V }^{\,i+1/2}}^{\,j} \; U 
     397        - \overline { \,q\ \overline{ U }^{\,j+1/2}}^{\,i} \; V  \; \biggr\}     \\ 
     398      &\equiv \sum\limits_{i,j,k} q \  \biggl\{  \overline{ V }^{\,i+1/2}\; \overline{ U }^{\,j+1/2} 
     399        - \overline{ U }^{\,j+1/2}\; \overline{ V }^{\,i+1/2}         \biggr\}  \quad  \equiv 0 
     400    \end{array} 
     401  }       
    392402\end{flalign*} 
    393403In other words, the domain averaged kinetic energy does not change due to the vorticity term. 
    394  
    395404 
    396405% ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
     
    401410 
    402411With the EEN scheme, the vorticity terms are represented as:  
    403 \begin{equation} \tag{\ref{eq:dynvor_een}} 
    404 \left\{ {    \begin{aligned} 
    405  +q\,e_3 \, v  &\equiv +\frac{1}{e_{1u} }   \sum_{\substack{i_p,\,k_p}}  
    406                          {^{i+1/2-i_p}_j}  \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}  \left( e_{1v} e_{3v} \ v  \right)^{i+i_p-1/2}_{j+j_p}   \\ 
    407  - q\,e_3 \, u     &\equiv -\frac{1}{e_{2v} }    \sum_{\substack{i_p,\,k_p}}  
    408                          {^i_{j+1/2-j_p}}  \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}  \left( e_{2u} e_{3u} \ u  \right)^{i+i_p}_{j+j_p-1/2}   \\ 
    409 \end{aligned}   } \right. 
     412\begin{equation} 
     413  \tag{\ref{eq:dynvor_een}} 
     414  \left\{ { 
     415      \begin{aligned} 
     416        +q\,e_3 \, v    &\equiv +\frac{1}{e_{1u} }   \sum_{\substack{i_p,\,k_p}} 
     417        {^{i+1/2-i_p}_j}  \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}  \left( e_{1v} e_{3v} \ v  \right)^{i+i_p-1/2}_{j+j_p}   \\ 
     418        - q\,e_3 \, u     &\equiv -\frac{1}{e_{2v} }    \sum_{\substack{i_p,\,k_p}} 
     419        {^i_{j+1/2-j_p}}  \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}  \left( e_{2u} e_{3u} \ u  \right)^{i+i_p}_{j+j_p-1/2} 
     420      \end{aligned} 
     421    } \right. 
    410422\end{equation}  
    411423where the indices $i_p$ and $j_p$ take the following value: $i_p = -1/2$ or $1/2$ and $j_p = -1/2$ or $1/2$, 
    412424and the vorticity triads, ${^i_j}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}$, defined at $T$-point, are given by:  
    413 \begin{equation} \tag{\ref{eq:Q_triads}} 
    414 _i^j \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} 
    415 = \frac{1}{12} \ \left(   q^{i-i_p}_{j+j_p} + q^{i+j_p}_{j+i_p} + q^{i+i_p}_{j-j_p}  \right) 
     425\begin{equation} 
     426  \tag{\ref{eq:Q_triads}} 
     427  _i^j \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} 
     428  = \frac{1}{12} \ \left(   q^{i-i_p}_{j+j_p} + q^{i+j_p}_{j+i_p} + q^{i+i_p}_{j-j_p}  \right) 
    416429\end{equation} 
    417430 
     
    419432Indeed, 
    420433\begin{flalign*} 
    421 &\int\limits_D - \textbf{U}_h \cdot   \left(  \zeta \;\textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right)  \;  dv &&  \\ 
    422 \equiv \sum\limits_{i,j,k} &  \biggl\{  
    423        \left[  \sum_{\substack{i_p,\,k_p}}  
    424                          {^{i+1/2-i_p}_j}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} \; V^{i+1/2-i_p}_{j+j_p} \right] U^{i+1/2}_{j}    %   &&\\ 
    425      - \left[  \sum_{\substack{i_p,\,k_p}}  
    426                          {^i_{j+1/2-j_p}}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} \; U^{i+i_p}_{j+1/2-j_p}  \right] V^{i}_{j+1/2}    \biggr\}     && \\ 
    427 \\ 
    428 \equiv \sum\limits_{i,j,k} &  \sum_{\substack{i_p,\,k_p}} \biggl\{  \ \   
    429                          {^{i+1/2-i_p}_j}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} \; V^{i+1/2-i_p}_{j+j_p}  \, U^{i+1/2}_{j}     %  &&\\ 
    430                        - {^i_{j+1/2-j_p}}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} \; U^{i+i_p}_{j+1/2-j_p} \, V^{i}_{j+1/2}     \ \;     \biggr\}     &&  \\ 
    431 % 
    432 \allowdisplaybreaks 
    433 \intertext{ Expending the summation on $i_p$ and $k_p$, it becomes:} 
    434 % 
    435 \equiv \sum\limits_{i,j,k} & \biggl\{  \ \   
    436                     {^{i+1}_j     }\mathbb{Q}^{-1/2}_{+1/2} \;V^{i+1}_{j+1/2} \; U^{\,i+1/2}_{j}       
    437                 -  {^i_{j}\quad}\mathbb{Q}^{-1/2}_{+1/2} \; U^{i-1/2}_{j}    \; V^{\,i}_{j+1/2}         &&  \\ 
    438         &       + {^{i+1}_j     }\mathbb{Q}^{-1/2}_{-1/2} \; V^{i+1}_{j-1/2} \; U^{\,i+1/2}_{j}         
    439                   - {^i_{j+1}     }\mathbb{Q}^{-1/2}_{-1/2} \; U^{i-1/2}_{j+1} \; V^{\,i}_{j+1/2}        \biggr.     &&  \\ 
    440         &       + {^{i}_j\quad}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2} \; V^{i}_{j+1/2}   \; U^{\,i+1/2}_{j}       
    441                   - {^i_{j}\quad}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2} \; U^{i+1/2}_{j}   \; V^{\,i}_{j+1/2}          \biggr.        &&  \\ 
    442         &       + {^{i}_j\quad}\mathbb{Q}^{+1/2}_{-1/2} \; V^{i}_{j-1/2}     \; U^{\,i+1/2}_{j}        
    443                  -  {^i_{j+1}     }\mathbb{Q}^{+1/2}_{-1/2} \; U^{i+1/2}_{j+1}\; V^{\,i}_{j+1/2}  \ \;     \biggr\}     &&  \\ 
    444 % 
    445 \allowdisplaybreaks 
    446 \intertext{The summation is done over all $i$ and $j$ indices, it is therefore possible to introduce  
    447 a shift of $-1$ either in $i$ or $j$ direction in some of the term of the summation (first term of the  
    448 first and second lines, second term of the second and fourth lines). By doning so, we can regroup  
    449 all the terms of the summation by triad at a ($i$,$j$) point. In other words, we regroup all the terms  
    450 in the neighbourhood  that contain a triad at the same ($i$,$j$) indices. It becomes: } 
    451 \allowdisplaybreaks 
    452 % 
    453 \equiv \sum\limits_{i,j,k} & \biggl\{  \ \   
    454              {^{i}_j}\mathbb{Q}^{-1/2}_{+1/2}  \left[  V^{i}_{j+1/2}\, U^{\,i-1/2}_{j}     
    455                                                                        -  U^{i-1/2}_{j} \, V^{\,i}_{j+1/2}      \right]    &&  \\ 
    456  &       + {^{i}_j}\mathbb{Q}^{-1/2}_{-1/2}  \left[  V^{i}_{j-1/2} \, U^{\,i-1/2}_{j}         
    457                                                                      -    U^{i-1/2}_{j} \, V^{\,i}_{j-1/2}      \right]    \biggr.   &&  \\ 
    458  &      + {^{i}_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \left[  V^{i}_{j+1/2} \, U^{\,i+1/2}_{j}       
    459                                                                      -    U^{i+1/2}_{j} \, V^{\,i}_{j+1/2}     \right]  \biggr.  &&  \\ 
    460  &     + {^{i}_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{-1/2}  \left[   V^{i}_{j-1/2} \, U^{\,i+1/2}_{j}                                                                      
    461                                                                     -    U^{i+1/2}_{j-1} \, V^{\,i}_{j-1/2}  \right]  \ \;   \biggr\}   \qquad 
    462 \equiv \ 0   && 
    463 \end{flalign*} 
    464  
     434  &\int\limits_D - \textbf{U}_h \cdot   \left(  \zeta \;\textbf{k} \times \textbf{U}_h  \right)  \;  dv &&  \\ 
     435  \equiv \sum\limits_{i,j,k} &   \biggl\{ 
     436  \left[  \sum_{\substack{i_p,\,k_p}} 
     437    {^{i+1/2-i_p}_j}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} \; V^{i+1/2-i_p}_{j+j_p} \right] U^{i+1/2}_{j}    %   &&\\ 
     438  - \left[  \sum_{\substack{i_p,\,k_p}} 
     439    {^i_{j+1/2-j_p}}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} \; U^{i+i_p}_{j+1/2-j_p}  \right] V^{i}_{j+1/2}    \biggr\}     && \\ \\ 
     440  \equiv \sum\limits_{i,j,k} &  \sum_{\substack{i_p,\,k_p}} \biggl\{  \ \ 
     441  {^{i+1/2-i_p}_j}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} \; V^{i+1/2-i_p}_{j+j_p}  \, U^{i+1/2}_{j}     %  &&\\ 
     442  - {^i_{j+1/2-j_p}}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} \; U^{i+i_p}_{j+1/2-j_p} \, V^{i}_{j+1/2}     \ \;     \biggr\}     &&  \\ 
     443  % 
     444  \allowdisplaybreaks 
     445  \intertext{ Expending the summation on $i_p$ and $k_p$, it becomes:} 
     446  % 
     447  \equiv \sum\limits_{i,j,k} & \biggl\{  \ \ 
     448  {^{i+1}_j     }\mathbb{Q}^{-1/2}_{+1/2} \;V^{i+1}_{j+1/2} \; U^{\,i+1/2}_{j} 
     449  -  {^i_{j}\quad}\mathbb{Q}^{-1/2}_{+1/2} \; U^{i-1/2}_{j}    \; V^{\,i}_{j+1/2}         &&  \\ 
     450  &       + {^{i+1}_j     }\mathbb{Q}^{-1/2}_{-1/2} \; V^{i+1}_{j-1/2} \; U^{\,i+1/2}_{j} 
     451  - {^i_{j+1}     }\mathbb{Q}^{-1/2}_{-1/2} \; U^{i-1/2}_{j+1} \; V^{\,i}_{j+1/2}        \biggr.     &&  \\ 
     452  &       + {^{i}_j\quad}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2} \; V^{i}_{j+1/2}   \; U^{\,i+1/2}_{j} 
     453  - {^i_{j}\quad}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2} \; U^{i+1/2}_{j}   \; V^{\,i}_{j+1/2}          \biggr.        &&  \\ 
     454  &       + {^{i}_j\quad}\mathbb{Q}^{+1/2}_{-1/2} \; V^{i}_{j-1/2}     \; U^{\,i+1/2}_{j} 
     455  -  {^i_{j+1}     }\mathbb{Q}^{+1/2}_{-1/2} \; U^{i+1/2}_{j+1}\; V^{\,i}_{j+1/2}  \ \;     \biggr\}     &&  \\ 
     456  % 
     457  \allowdisplaybreaks 
     458  \intertext{The summation is done over all $i$ and $j$ indices, it is therefore possible to introduce 
     459    a shift of $-1$ either in $i$ or $j$ direction in some of the term of the summation (first term of the 
     460    first and second lines, second term of the second and fourth lines). By doning so, we can regroup 
     461    all the terms of the summation by triad at a ($i$,$j$) point. In other words, we regroup all the terms 
     462    in the neighbourhood  that contain a triad at the same ($i$,$j$) indices. It becomes: } 
     463  \allowdisplaybreaks 
     464  % 
     465  \equiv \sum\limits_{i,j,k} & \biggl\{  \ \ 
     466  {^{i}_j}\mathbb{Q}^{-1/2}_{+1/2}  \left[  V^{i}_{j+1/2}\, U^{\,i-1/2}_{j} 
     467    -  U^{i-1/2}_{j} \, V^{\,i}_{j+1/2}      \right]    &&  \\ 
     468  &       + {^{i}_j}\mathbb{Q}^{-1/2}_{-1/2}  \left[  V^{i}_{j-1/2} \, U^{\,i-1/2}_{j} 
     469    -    U^{i-1/2}_{j} \, V^{\,i}_{j-1/2}      \right]    \biggr.   &&  \\ 
     470  &      + {^{i}_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \left[  V^{i}_{j+1/2} \, U^{\,i+1/2}_{j} 
     471    -    U^{i+1/2}_{j} \, V^{\,i}_{j+1/2}     \right]  \biggr.  &&  \\ 
     472  &     + {^{i}_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{-1/2}  \left[   V^{i}_{j-1/2} \, U^{\,i+1/2}_{j} 
     473    -    U^{i+1/2}_{j-1} \, V^{\,i}_{j-1/2}  \right]  \ \;   \biggr\}   \qquad 
     474  \equiv \ 0   && 
     475\end{flalign*} 
    465476 
    466477% ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
     
    471482 
    472483The change of Kinetic Energy (KE) due to the vertical advection is exactly balanced by the change of KE due to the horizontal gradient of KE~: 
    473 \begin{equation*} 
    474     \int_D \textbf{U}_h \cdot \frac{1}{e_3 } \omega \partial_k \textbf{U}_h \;dv 
    475 =  -   \int_D \textbf{U}_h \cdot \nabla_h \left( \frac{1}{2}\;{\textbf{U}_h}^2 \right)\;dv 
    476    +   \frac{1}{2} \int_D {  \frac{{\textbf{U}_h}^2}{e_3} \partial_t ( e_3) \;dv }  \\ 
    477 \end{equation*} 
     484\[ 
     485  \int_D \textbf{U}_h \cdot \frac{1}{e_3 } \omega \partial_k \textbf{U}_h \;dv 
     486  =  -   \int_D \textbf{U}_h \cdot \nabla_h \left( \frac{1}{2}\;{\textbf{U}_h}^2 \right)\;dv 
     487  +   \frac{1}{2} \int_D {  \frac{{\textbf{U}_h}^2}{e_3} \partial_t ( e_3) \;dv } 
     488\] 
    478489Indeed, using successively \autoref{eq:DOM_di_adj} ($i.e.$ the skew symmetry property of the $\delta$ operator) 
    479490and the continuity equation, then \autoref{eq:DOM_di_adj} again, 
     
    482493applied in the horizontal and vertical directions, it becomes: 
    483494\begin{flalign*} 
    484 & - \int_D \textbf{U}_h \cdot \text{KEG}\;dv     
    485 = - \int_D \textbf{U}_h \cdot \nabla_h \left( \frac{1}{2}\;{\textbf{U}_h}^2 \right)\;dv    &&&\\ 
    486 % 
    487 \equiv  & -  \sum\limits_{i,j,k} \frac{1}{2}  \biggl\{    
    488    \frac{1} {e_{1u}}  \delta_{i+1/2}   \left[   \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right]  u \ b_u  
    489      + \frac{1} {e_{2v}}  \delta_{j+1/2}   \left[   \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right]  v \ b_v   \biggr\}     &&&  \\  
    490 % 
    491 \equiv & + \sum\limits_{i,j,k} \frac{1}{2}  \left(   \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right)\; 
    492                                                               \biggl\{ \delta_{i} \left[  U   \right] +  \delta_{j} \left[  V  \right]    \biggr\}       &&&  \\  
    493 \allowdisplaybreaks 
    494 % 
    495 \equiv   & - \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1}{2} 
    496    \left(       \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right)  \;   
    497    \biggl\{   \frac{b_t}{e_{3t}} \partial_t (e_{3t})  +  \delta_k \left[  W   \right]    \biggr\}    &&&\\ 
    498 \allowdisplaybreaks 
    499 % 
    500 \equiv & +  \sum\limits_{i,j,k} \frac{1}{2} \delta_{k+1/2}   \left[ \overline{ u^2}^{\,i} + \overline{ v^2}^{\,j}   \right] \;  W  
    501           -  \sum\limits_{i,j,k} \frac{1}{2} \left(   \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right) \;\partial_t b_t   &&& \\ 
    502 \allowdisplaybreaks 
    503 % 
    504 \equiv   & + \sum\limits_{i,j,k} \frac{1} {2} \left(    \overline{\delta_{k+1/2} \left[ u^2 \right]}^{\,i}  
    505                                                                    + \overline{\delta_{k+1/2} \left[ v^2 \right]}^{\,j}    \right) \; W      
    506           -  \sum\limits_{i,j,k}  \left(  \frac{u^2}{2}\,\partial_t \overline{b_t}^{\,{i+1/2}} 
    507                                                  + \frac{v^2}{2}\,\partial_t \overline{b_t}^{\,{j+1/2}}   \right)    &&& \\ 
    508 \allowdisplaybreaks 
    509 \intertext{Assuming that $b_u= \overline{b_t}^{\,i+1/2}$ and $b_v= \overline{b_t}^{\,j+1/2}$, or at least that the time 
    510 derivative of these two equations is satisfied, it becomes:} 
    511 % 
    512 \equiv &     \sum\limits_{i,j,k} \frac{1} {2} 
    513    \biggl\{ \; \overline{W}^{\,i+1/2}\;\delta_{k+1/2} \left[ u^2 \right]     
    514                + \overline{W}^{\,j+1/2}\;\delta_{k+1/2} \left[ v^2 \right]  \;  \biggr\}    
    515           -  \sum\limits_{i,j,k}  \left(  \frac{u^2}{2}\,\partial_t b_u 
    516                                                 + \frac{v^2}{2}\,\partial_t b_v   \right)    &&& \\ 
    517 \allowdisplaybreaks 
    518  
    519 \equiv &     \sum\limits_{i,j,k}  
    520    \biggl\{ \; \overline{W}^{\,i+1/2}\; \overline {u}^{\,k+1/2}\; \delta_{k+1/2}[ u ]     
    521                + \overline{W}^{\,j+1/2}\; \overline {v}^{\,k+1/2}\; \delta_{k+1/2}[ v ]  \;  \biggr\}  
    522           -  \sum\limits_{i,j,k}  \left(  \frac{u^2}{2}\,\partial_t b_u 
    523                                                 + \frac{v^2}{2}\,\partial_t b_v   \right)    &&& \\ 
    524 % 
    525 \allowdisplaybreaks 
    526 \equiv  &  \sum\limits_{i,j,k}   
    527    \biggl\{ \; \frac{1} {b_u } \; \overline { \overline{W}^{\,i+1/2}\,\delta_{k+1/2}  \left[ u \right] }^{\,k} \;u\;b_u   
    528                     + \frac{1} {b_v } \; \overline { \overline{W}^{\,j+1/2} \delta_{k+1/2}  \left[ v \right]  }^{\,k} \;v\;b_v  \; \biggr\}   
    529           -  \sum\limits_{i,j,k}  \left(  \frac{u^2}{2}\,\partial_t b_u 
    530                                                 + \frac{v^2}{2}\,\partial_t b_v   \right)    &&& \\ 
    531 % 
    532 \intertext{The first term provides the discrete expression for the vertical advection of momentum (ZAD),  
    533 while the second term corresponds exactly to \autoref{eq:KE+PE_vect_discrete}, therefore:} 
    534 \equiv&                   \int\limits_D \textbf{U}_h \cdot \text{ZAD} \;dv   
    535            + \frac{1}{2} \int_D { {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \partial_t  (e_3)  \;dv }    &&&\\ 
    536 \equiv&                   \int\limits_D \textbf{U}_h \cdot w \partial_k \textbf{U}_h \;dv   
    537            + \frac{1}{2} \int_D { {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \partial_t  (e_3)  \;dv }    &&&\\ 
     495  & - \int_D \textbf{U}_h \cdot \text{KEG}\;dv 
     496  = - \int_D \textbf{U}_h \cdot \nabla_h \left( \frac{1}{2}\;{\textbf{U}_h}^2 \right)\;dv    &&&\\ 
     497  % 
     498  \equiv  & -  \sum\limits_{i,j,k} \frac{1}{2}  \biggl\{ 
     499  \frac{1} {e_{1u}}  \delta_{i+1/2}   \left[   \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right]  u \ b_u 
     500  + \frac{1} {e_{2v}}  \delta_{j+1/2}   \left[   \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right]  v \ b_v   \biggr\}     &&&  \\ 
     501  % 
     502  \equiv & + \sum\limits_{i,j,k} \frac{1}{2}  \left(   \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right)\; 
     503  \biggl\{ \delta_{i} \left[  U   \right] +  \delta_{j} \left[  V  \right]    \biggr\}       &&&  \\ 
     504  \allowdisplaybreaks 
     505  % 
     506  \equiv   & - \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1}{2} 
     507  \left(       \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right)  \; 
     508  \biggl\{   \frac{b_t}{e_{3t}} \partial_t (e_{3t})  +  \delta_k \left[  W   \right]    \biggr\}    &&&\\ 
     509  \allowdisplaybreaks 
     510  % 
     511  \equiv & +  \sum\limits_{i,j,k} \frac{1}{2} \delta_{k+1/2}   \left[ \overline{ u^2}^{\,i} + \overline{ v^2}^{\,j}   \right] \;  W 
     512  -  \sum\limits_{i,j,k} \frac{1}{2} \left(   \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j}   \right) \;\partial_t b_t   &&& \\ 
     513  \allowdisplaybreaks 
     514  % 
     515  \equiv   & + \sum\limits_{i,j,k} \frac{1} {2} \left(    \overline{\delta_{k+1/2} \left[ u^2 \right]}^{\,i} 
     516    + \overline{\delta_{k+1/2} \left[ v^2 \right]}^{\,j}    \right) \; W 
     517  -  \sum\limits_{i,j,k}  \left(  \frac{u^2}{2}\,\partial_t \overline{b_t}^{\,{i+1/2}} 
     518    + \frac{v^2}{2}\,\partial_t \overline{b_t}^{\,{j+1/2}}   \right)    &&& \\ 
     519  \allowdisplaybreaks 
     520  \intertext{Assuming that $b_u= \overline{b_t}^{\,i+1/2}$ and $b_v= \overline{b_t}^{\,j+1/2}$, or at least that the time 
     521    derivative of these two equations is satisfied, it becomes:} 
     522  % 
     523  \equiv &     \sum\limits_{i,j,k} \frac{1} {2} 
     524  \biggl\{ \; \overline{W}^{\,i+1/2}\;\delta_{k+1/2} \left[ u^2 \right] 
     525  + \overline{W}^{\,j+1/2}\;\delta_{k+1/2} \left[ v^2 \right]  \;  \biggr\} 
     526  -  \sum\limits_{i,j,k}  \left(  \frac{u^2}{2}\,\partial_t b_u 
     527    + \frac{v^2}{2}\,\partial_t b_v   \right)    &&& \\ 
     528  \allowdisplaybreaks 
     529  % 
     530  \equiv &     \sum\limits_{i,j,k} 
     531  \biggl\{ \; \overline{W}^{\,i+1/2}\; \overline {u}^{\,k+1/2}\; \delta_{k+1/2}[ u ] 
     532  + \overline{W}^{\,j+1/2}\; \overline {v}^{\,k+1/2}\; \delta_{k+1/2}[ v ]  \;  \biggr\} 
     533  -  \sum\limits_{i,j,k}  \left(  \frac{u^2}{2}\,\partial_t b_u 
     534    + \frac{v^2}{2}\,\partial_t b_v   \right)    &&& \\ 
     535  % 
     536  \allowdisplaybreaks 
     537  \equiv  &  \sum\limits_{i,j,k} 
     538  \biggl\{ \; \frac{1} {b_u } \; \overline { \overline{W}^{\,i+1/2}\,\delta_{k+1/2}  \left[ u \right] }^{\,k} \;u\;b_u 
     539  + \frac{1} {b_v } \; \overline { \overline{W}^{\,j+1/2} \delta_{k+1/2}  \left[ v \right]  }^{\,k} \;v\;b_v  \; \biggr\} 
     540  -  \sum\limits_{i,j,k}  \left(  \frac{u^2}{2}\,\partial_t b_u 
     541    + \frac{v^2}{2}\,\partial_t b_v   \right)    &&& \\ 
     542  % 
     543  \intertext{The first term provides the discrete expression for the vertical advection of momentum (ZAD), 
     544    while the second term corresponds exactly to \autoref{eq:KE+PE_vect_discrete}, therefore:} 
     545  \equiv&                   \int\limits_D \textbf{U}_h \cdot \text{ZAD} \;dv 
     546  + \frac{1}{2} \int_D { {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \partial_t  (e_3)  \;dv }    &&&\\ 
     547  \equiv&                   \int\limits_D \textbf{U}_h \cdot w \partial_k \textbf{U}_h \;dv 
     548  + \frac{1}{2} \int_D { {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \partial_t  (e_3)  \;dv }    &&&\\ 
    538549\end{flalign*} 
    539550 
     
    544555For example KE can also be discretized as $1/2\,({\overline u^{\,i}}^2 + {\overline v^{\,j}}^2)$. 
    545556This leads to the following expression for the vertical advection: 
    546 \begin{equation*} 
    547 \frac{1} {e_3 }\; \omega\; \partial_k \textbf{U}_h 
    548 \equiv \left( {{\begin{array} {*{20}c} 
    549 \frac{1} {e_{1u}\,e_{2u}\,e_{3u}} \;  \overline{\overline {e_{1t}\,e_{2t} \,\omega\;\delta_{k+1/2}  
    550 \left[ \overline u^{\,i+1/2} \right]}}^{\,i+1/2,k}  \hfill \\ 
    551 \frac{1} {e_{1v}\,e_{2v}\,e_{3v}} \;   \overline{\overline {e_{1t}\,e_{2t} \,\omega \;\delta_{k+1/2} 
    552 \left[ \overline v^{\,j+1/2} \right]}}^{\,j+1/2,k} \hfill \\ 
    553 \end{array}} } \right) 
    554 \end{equation*} 
     557\[ 
     558  \frac{1} {e_3 }\; \omega\; \partial_k \textbf{U}_h 
     559  \equiv \left( {{ 
     560        \begin{array} {*{20}c} 
     561          \frac{1} {e_{1u}\,e_{2u}\,e_{3u}} \;  \overline{\overline {e_{1t}\,e_{2t} \,\omega\;\delta_{k+1/2} 
     562          \left[ \overline u^{\,i+1/2} \right]}}^{\,i+1/2,k}  \hfill \\ 
     563          \frac{1} {e_{1v}\,e_{2v}\,e_{3v}} \;   \overline{\overline {e_{1t}\,e_{2t} \,\omega \;\delta_{k+1/2} 
     564          \left[ \overline v^{\,j+1/2} \right]}}^{\,j+1/2,k} \hfill 
     565        \end{array} 
     566      } } \right) 
     567\] 
    555568a formulation that requires an additional horizontal mean in contrast with the one used in NEMO. 
    556569Nine velocity points have to be used instead of 3. 
     
    560573an extra constraint arises on the time derivative of the volume at $u$- and $v$-points: 
    561574\begin{flalign*} 
    562 e_{1u}\,e_{2u}\,\partial_t (e_{3u}) =\overline{ e_{1t}\,e_{2t}\;\partial_t (e_{3t}) }^{\,i+1/2}    \\ 
    563 e_{1v}\,e_{2v}\,\partial_t (e_{3v})  =\overline{ e_{1t}\,e_{2t}\;\partial_t (e_{3t}) }^{\,j+1/2} 
     575  e_{1u}\,e_{2u}\,\partial_t (e_{3u}) =\overline{ e_{1t}\,e_{2t}\;\partial_t (e_{3t}) }^{\,i+1/2}    \\ 
     576  e_{1v}\,e_{2v}\,\partial_t (e_{3v})  =\overline{ e_{1t}\,e_{2t}\;\partial_t (e_{3t}) }^{\,j+1/2} 
    564577\end{flalign*} 
    565578which is (over-)satified by defining the vertical scale factor as follows: 
    566 \begin{flalign} \label{eq:e3u-e3v} 
    567 e_{3u} = \frac{1}{e_{1u}\,e_{2u}}\;\overline{ e_{1t}^{ }\,e_{2t}^{ }\,e_{3t}^{ } }^{\,i+1/2}    \\ 
    568 e_{3v} = \frac{1}{e_{1v}\,e_{2v}}\;\overline{ e_{1t}^{ }\,e_{2t}^{ }\,e_{3t}^{ } }^{\,j+1/2}  
    569 \end{flalign} 
     579\begin{flalign*} 
     580  % \label{eq:e3u-e3v} 
     581  e_{3u} = \frac{1}{e_{1u}\,e_{2u}}\;\overline{ e_{1t}^{ }\,e_{2t}^{ }\,e_{3t}^{ } }^{\,i+1/2}    \\ 
     582  e_{3v} = \frac{1}{e_{1v}\,e_{2v}}\;\overline{ e_{1t}^{ }\,e_{2t}^{ }\,e_{3t}^{ } }^{\,j+1/2} 
     583\end{flalign*} 
    570584 
    571585Blah blah required on the the step representation of bottom topography..... 
     
    588602the change of KE due to the work of pressure forces is balanced by 
    589603the change of potential energy due to buoyancy forces:  
    590 \begin{equation*} 
    591 - \int_D  \left. \nabla p \right|_z \cdot \textbf{U}_h \;dv  
    592 = - \int_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right) \,g\,z \;dv 
     604\[ 
     605  - \int_D  \left. \nabla p \right|_z \cdot \textbf{U}_h \;dv 
     606  = - \int_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right) \,g\,z \;dv 
    593607  + \int_D g\, \rho \; \partial_t (z)  \;dv 
    594 \end{equation*} 
     608\] 
    595609 
    596610This property can be satisfied in a discrete sense for both $z$- and $s$-coordinates. 
     
    599613the work of pressure forces can be written as: 
    600614\begin{flalign*} 
    601 &- \int_D  \left. \nabla p \right|_z \cdot \textbf{U}_h \;dv    
    602 \equiv \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \;  - \frac{1} {e_{1u}}   \Bigl(  
    603 \delta_{i+1/2} [p_t] - g\;\overline \rho^{\,i+1/2}\;\delta_{i+1/2} [z_t]     \Bigr)  \; u\;b_u   
    604    &&  \\ & \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \quad \ \, 
    605                         - \frac{1} {e_{2v}}    \Bigl(  
    606 \delta_{j+1/2} [p_t] - g\;\overline \rho^{\,j+1/2}\delta_{j+1/2} [z_t]      \Bigr)  \; v\;b_v \;  \biggr\}   && \\  
    607 % 
    608 \allowdisplaybreaks 
    609 \intertext{Using successively \autoref{eq:DOM_di_adj}, $i.e.$ the skew symmetry property of  
    610 the $\delta$ operator, \autoref{eq:wzv}, the continuity equation, \autoref{eq:dynhpg_sco},  
    611 the hydrostatic equation in the $s$-coordinate, and $\delta_{k+1/2} \left[ z_t \right] \equiv e_{3w} $, 
    612 which comes from the definition of $z_t$, it becomes: } 
    613 \allowdisplaybreaks 
    614 % 
    615 \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}   g  \biggl\{  
    616       \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t]     
    617    +     \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t]      
    618    +\Bigl(  \delta_i[U] + \delta_j [V]  \Bigr)\;\frac{p_t}{g} \biggr\}  &&\\ 
    619 % 
    620 \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}   g   \biggl\{  
    621       \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t]     
    622    +     \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t]      
    623     -       \left(   \frac{b_t}{e_{3t}} \partial_t (e_{3t})  +  \delta_k \left[ W \right]    \right) \frac{p_t}{g}    \biggr\}   &&&\\  
    624 % 
    625 \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}  g   \biggl\{  
    626       \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t]     
    627    +     \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t]      
    628    +  \frac{W}{g}\;\delta_{k+1/2} [p_t]  
    629     -        \frac{p_t}{g}\,\partial_t b_t    \biggr\}    &&&\\ 
    630 % 
    631 \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}  g   \biggl\{  
    632       \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t]     
    633    +     \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t]      
    634    -  W\;e_{3w} \overline \rho^{\,k+1/2}          
    635     -        \frac{p_t}{g}\,\partial_t b_t    \biggr\}    &&&\\ 
    636 % 
    637 \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}    g   \biggl\{  
    638       \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t]     
    639    +     \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t]      
    640    +  W\; \overline \rho^{\,k+1/2}\;\delta_{k+1/2} [z_t]    
    641     -        \frac{p_t}{g}\,\partial_t b_t    \biggr\}    &&&\\ 
    642 % 
    643 \allowdisplaybreaks 
    644 % 
    645 \equiv& - \sum\limits_{i,j,k}   g \; z_t      \biggl\{  
    646       \delta_i    \left[ U\;  \overline \rho^{\,i+1/2}   \right] 
    647    +  \delta_j    \left[ V\;  \overline \rho^{\,j+1/2}   \right] 
    648    +  \delta_k    \left[ W\;  \overline \rho^{\,k+1/2}   \right]       \biggr\}     
    649              - \sum\limits_{i,j,k}       \biggl\{ p_t\;\partial_t b_t    \biggr\}   &&&\\  
    650 % 
    651 \equiv& + \sum\limits_{i,j,k}   g \; z_t    \biggl\{      \partial_t ( e_{3t} \,\rho)    \biggr\}  \; b_t     
    652              -  \sum\limits_{i,j,k}                 \biggl\{  p_t\;\partial_t b_t                     \biggr\}              &&&\\    
    653 % 
     615  &- \int_D  \left. \nabla p \right|_z \cdot \textbf{U}_h \;dv 
     616  \equiv \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \;  - \frac{1} {e_{1u}}   \Bigl( 
     617  \delta_{i+1/2} [p_t] - g\;\overline \rho^{\,i+1/2}\;\delta_{i+1/2} [z_t]     \Bigr)  \; u\;b_u && \\ 
     618  & \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \quad \ \, 
     619  - \frac{1} {e_{2v}}    \Bigl( 
     620  \delta_{j+1/2} [p_t] - g\;\overline \rho^{\,j+1/2}\delta_{j+1/2} [z_t]      \Bigr)  \; v\;b_v \;  \biggr\}   && \\ 
     621  % 
     622  \allowdisplaybreaks 
     623  \intertext{Using successively \autoref{eq:DOM_di_adj}, $i.e.$ the skew symmetry property of 
     624    the $\delta$ operator, \autoref{eq:wzv}, the continuity equation, \autoref{eq:dynhpg_sco}, 
     625    the hydrostatic equation in the $s$-coordinate, and $\delta_{k+1/2} \left[ z_t \right] \equiv e_{3w} $, 
     626    which comes from the definition of $z_t$, it becomes: } 
     627  \allowdisplaybreaks 
     628  % 
     629  \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}   g  \biggl\{ 
     630  \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t] 
     631  +   \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t] 
     632  +\Bigl(  \delta_i[U] + \delta_j [V]  \Bigr)\;\frac{p_t}{g} \biggr\}  &&\\ 
     633  % 
     634  \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}   g   \biggl\{ 
     635  \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t] 
     636  +   \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t] 
     637  -       \left(   \frac{b_t}{e_{3t}} \partial_t (e_{3t})  +  \delta_k \left[ W \right]    \right) \frac{p_t}{g}    \biggr\}   &&&\\ 
     638  % 
     639  \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}  g   \biggl\{ 
     640  \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t] 
     641  +   \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t] 
     642  +   \frac{W}{g}\;\delta_{k+1/2} [p_t] 
     643  -        \frac{p_t}{g}\,\partial_t b_t    \biggr\}    &&&\\ 
     644  % 
     645  \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}  g   \biggl\{ 
     646  \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t] 
     647  +   \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t] 
     648  -   W\;e_{3w} \overline \rho^{\,k+1/2} 
     649  -        \frac{p_t}{g}\,\partial_t b_t    \biggr\}    &&&\\ 
     650  % 
     651  \equiv& +  \sum\limits_{i,j,k}    g   \biggl\{ 
     652  \overline\rho^{\,i+1/2}\,U\,\delta_{i+1/2}[z_t] 
     653  +   \overline\rho^{\,j+1/2}\,V\,\delta_{j+1/2}[z_t] 
     654  +   W\; \overline \rho^{\,k+1/2}\;\delta_{k+1/2} [z_t] 
     655  -        \frac{p_t}{g}\,\partial_t b_t    \biggr\}    &&&\\ 
     656  % 
     657  \allowdisplaybreaks 
     658  % 
     659  \equiv& - \sum\limits_{i,j,k}   g \; z_t      \biggl\{ 
     660  \delta_i  \left[ U\;  \overline \rho^{\,i+1/2}   \right] 
     661  +   \delta_j    \left[ V\;  \overline \rho^{\,j+1/2}   \right] 
     662  +   \delta_k    \left[ W\;  \overline \rho^{\,k+1/2}   \right]       \biggr\} 
     663  - \sum\limits_{i,j,k}       \biggl\{ p_t\;\partial_t b_t    \biggr\}   &&&\\ 
     664  % 
     665  \equiv& + \sum\limits_{i,j,k}   g \; z_t    \biggl\{      \partial_t ( e_{3t} \,\rho)    \biggr\}  \; b_t 
     666  -  \sum\limits_{i,j,k}                 \biggl\{  p_t\;\partial_t b_t                     \biggr\}              &&&\\ 
     667  % 
    654668\end{flalign*} 
    655669The first term is exactly the first term of the right-hand-side of \autoref{eq:KE+PE_vect_discrete}. 
     
    659673In other words, the following property must be satisfied: 
    660674\begin{flalign*} 
    661            \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_t\;\partial_t b_t                  \biggr\}         
    662 \equiv  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{ \rho \,g\,\partial_t (z_t) \,b_t  \biggr\}                                 
     675  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_t\;\partial_t b_t                  \biggr\} 
     676  \equiv  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{ \rho \,g\,\partial_t (z_t) \,b_t  \biggr\} 
    663677\end{flalign*} 
    664678 
     
    667681 
    668682\begin{flalign*} 
    669                \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{ \rho \,g\,\partial_t (z_t) \,b_t  \biggr\}   
    670 &\equiv   - \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{ \delta_k [p_w]\,\partial_t (z_t) \,e_{1t}\,e_{2t}  \biggr\}        &&&\\ 
    671 % 
    672 &\equiv  + \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_w\, \delta_{k+1/2} [\partial_t (z_t)] \,e_{1t}\,e_{2t}  \biggr\}   
     683  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{ \rho \,g\,\partial_t (z_t) \,b_t  \biggr\} 
     684  &\equiv   - \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{ \delta_k [p_w]\,\partial_t (z_t) \,e_{1t}\,e_{2t}  \biggr\}        &&&\\ 
     685  % 
     686  &\equiv  + \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_w\, \delta_{k+1/2} [\partial_t (z_t)] \,e_{1t}\,e_{2t}  \biggr\} 
    673687  \equiv  + \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_w\, \partial_t (e_{3w}) \,e_{1t}\,e_{2t}  \biggr\}        &&&\\ 
    674 &\equiv  + \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_w\, \partial_t (b_w) \biggr\}   
    675  % 
    676 % & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{1}{e_{3t}} \delta_k [p_w]\;\partial_t (z_t) \,b_w   \right)   \biggr\}           &&&\\ 
    677 % & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_w\;\partial_t \left(    \delta_k [z_t]   \right)  e_{1w}\,e_{2w}   \biggr\}           &&&\\ 
    678 % & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_w\;\partial_t b_w   \biggr\}           
     688  &\equiv  + \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_w\, \partial_t (b_w) \biggr\} 
     689  % 
     690  % & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{1}{e_{3t}} \delta_k [p_w]\;\partial_t (z_t) \,b_w   \right)   \biggr\}           &&&\\ 
     691  % & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_w\;\partial_t \left(    \delta_k [z_t]   \right)  e_{1w}\,e_{2w}   \biggr\}           &&&\\ 
     692  % & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_w\;\partial_t b_w   \biggr\} 
    679693\end{flalign*} 
    680694therefore, the balance to be satisfied is: 
    681695\begin{flalign*} 
    682            \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_t\;\partial_t (b_t) \biggr\}  \equiv  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_w\, \partial_t (b_w) \biggr\}   
     696  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_t\;\partial_t (b_t) \biggr\}  \equiv  \sum\limits_{i,j,k}  \biggl\{  p_w\, \partial_t (b_w) \biggr\} 
    683697\end{flalign*} 
    684698which is a purely vertical balance: 
    685699\begin{flalign*} 
    686            \sum\limits_{k}  \biggl\{  p_t\;\partial_t (e_{3t}) \biggr\}  \equiv  \sum\limits_{k}  \biggl\{  p_w\, \partial_t (e_{3w}) \biggr\}   
     700  \sum\limits_{k}  \biggl\{  p_t\;\partial_t (e_{3t}) \biggr\}  \equiv  \sum\limits_{k}  \biggl\{  p_w\, \partial_t (e_{3w}) \biggr\} 
    687701\end{flalign*} 
    688702Defining $p_w = \overline{p_t}^{\,k+1/2}$ 
     
    690704%gm comment 
    691705\gmcomment{ 
    692 \begin{flalign*} 
    693  \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_t\;\partial_t b_t   \biggr\}                                &&&\\ 
    694  % 
    695  & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{1}{e_{3t}} \delta_k [p_w]\;\partial_t (z_t) \,b_w    \biggr\}           &&&\\ 
    696  & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_w\;\partial_t \left(    \delta_{k+1/2} [z_t]   \right)  e_{1w}\,e_{2w}   \biggr\}           &&&\\ 
    697  & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_w\;\partial_t b_w   \biggr\}           
    698 \end{flalign*} 
    699  
    700  
    701 \begin{flalign*} 
    702 \int\limits_D   \rho \, g \, \frac{\partial z }{\partial t} \;dv 
    703 \equiv&  \sum\limits_{i,j,k}   \biggl\{  \frac{1}{e_{3t}} \frac{\partial e_{3t}}{\partial t} p   \biggr\} \; b_t   &&&\\ 
    704 \equiv&  \sum\limits_{i,j,k}   \biggl\{      \biggr\} \; b_t   &&&\\ 
    705 \end{flalign*} 
    706  
    707 % 
    708 \begin{flalign*} 
    709 \equiv& - \int_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
    710    + \int\limits_D g\, \rho \; \frac{\partial z}{\partial t}  \;dv     &&& \\ 
    711 \end{flalign*} 
    712 % 
     706  \begin{flalign*} 
     707    \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_t\;\partial_t b_t   \biggr\}                                &&&\\ 
     708    % 
     709    & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{1}{e_{3t}} \delta_k [p_w]\;\partial_t (z_t) \,b_w    \biggr\}           &&&\\ 
     710    & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_w\;\partial_t \left(    \delta_{k+1/2} [z_t]   \right)  e_{1w}\,e_{2w}   \biggr\}           &&&\\ 
     711    & \equiv     \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{   p_w\;\partial_t b_w   \biggr\} 
     712  \end{flalign*} 
     713 
     714  \begin{flalign*} 
     715    \int\limits_D   \rho \, g \, \frac{\partial z }{\partial t} \;dv 
     716    \equiv&  \sum\limits_{i,j,k}   \biggl\{  \frac{1}{e_{3t}} \frac{\partial e_{3t}}{\partial t} p   \biggr\} \; b_t   &&&\\ 
     717    \equiv&  \sum\limits_{i,j,k}   \biggl\{      \biggr\} \; b_t   &&&\\ 
     718  \end{flalign*} 
     719 
     720  % 
     721  \begin{flalign*} 
     722    \equiv& - \int_D \nabla \cdot \left( \rho \,\textbf {U} \right)\;g\;z\;\;dv 
     723    + \int\limits_D g\, \rho \; \frac{\partial z}{\partial t}  \;dv     &&& \\ 
     724  \end{flalign*} 
     725  % 
    713726} 
    714727%end gm comment 
    715  
    716728 
    717729Note that this property strongly constrains the discrete expression of both the depth of $T-$points and 
     
    719731Nevertheless, it is almost never satisfied since a linear equation of state is rarely used. 
    720732 
    721  
    722  
    723  
    724  
    725  
    726  
    727733% ================================================================ 
    728734% Discrete Total energy Conservation : flux form 
     
    739745The discrete form of the total energy conservation, \autoref{eq:Tot_Energy}, is given by: 
    740746\begin{flalign*} 
    741 \partial_t \left(  \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \frac{u^2}{2} \,b_u + \frac{v^2}{2}\, b_v +  \rho \, g \, z_t \,b_t  \biggr\} \right) &=0  \\ 
     747  \partial_t \left(  \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \frac{u^2}{2} \,b_u + \frac{v^2}{2}\, b_v +  \rho \, g \, z_t \,b_t  \biggr\} \right) &=0  \\ 
    742748\end{flalign*} 
    743749which in flux form, it leads to: 
    744750\begin{flalign*} 
    745                         \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{u    }{e_{3u}}\,\frac{\partial (e_{3u}u)}{\partial t} \,b_u  
    746                                                              +  \frac{v    }{e_{3v}}\,\frac{\partial (e_{3v}v)}{\partial t} \,b_v  \biggr\} 
    747 &  -  \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{u^2}{e_{3u}}\frac{\partial    e_{3u}    }{\partial t} \,b_u  
    748                                                              +  \frac{v^2}{e_{3v}}\frac{\partial    e_{3v}    }{\partial t} \,b_v   \biggr\}      \\ 
    749 &= - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \frac{1}{e_3t}\frac{\partial e_{3t} \rho}{\partial t} \, g \, z_t \,b_t  \biggr\}  
    750      - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \rho \,g\,\frac{\partial z_t}{\partial t} \,b_t  \biggr\}                                    \\ 
     751  \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{u    }{e_{3u}}\,\frac{\partial (e_{3u}u)}{\partial t} \,b_u 
     752  +  \frac{v    }{e_{3v}}\,\frac{\partial (e_{3v}v)}{\partial t} \,b_v  \biggr\} 
     753  &  -  \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{  \frac{u^2}{e_{3u}}\frac{\partial    e_{3u}    }{\partial t} \,b_u 
     754  +  \frac{v^2}{e_{3v}}\frac{\partial    e_{3v}    }{\partial t} \,b_v   \biggr\} \\ 
     755  &= - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \frac{1}{e_3t}\frac{\partial e_{3t} \rho}{\partial t} \, g \, z_t \,b_t  \biggr\} 
     756  - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{ \rho \,g\,\frac{\partial z_t}{\partial t} \,b_t  \biggr\} \\ 
    751757\end{flalign*} 
    752758 
     
    771777This altered Coriolis parameter is discretised at an f-point. 
    772778It is given by: 
    773 \begin{equation*} 
    774 f+\frac{1} {e_1 e_2 } \left( v \frac{\partial e_2 } {\partial i} - u \frac{\partial e_1 } {\partial j}\right)\; 
    775 \equiv \; 
    776 f+\frac{1} {e_{1f}\,e_{2f}} \left( \overline v^{\,i+1/2} \delta_{i+1/2} \left[ e_{2u} \right]  
    777                                                -\overline u^{\,j+1/2} \delta_{j+1/2} \left[ e_{1u}  \right] \right) 
    778 \end{equation*} 
     779\[ 
     780  f+\frac{1} {e_1 e_2 } \left( v \frac{\partial e_2 } {\partial i} - u \frac{\partial e_1 } {\partial j}\right)\; 
     781  \equiv \; 
     782  f+\frac{1} {e_{1f}\,e_{2f}} \left( \overline v^{\,i+1/2} \delta_{i+1/2} \left[ e_{2u} \right] 
     783    -\overline u^{\,j+1/2} \delta_{j+1/2} \left[ e_{1u}  \right] \right) 
     784\] 
    779785 
    780786Either the ENE or EEN scheme is then applied to obtain the vorticity term in flux form. 
     
    793799Because of the centered second order scheme, it conserves the horizontal kinetic energy, that is: 
    794800 
    795 \begin{equation} \label{eq:C_ADV_KE_flux} 
    796  -  \int_D \textbf{U}_h \cdot     \left(                 {{\begin{array} {*{20}c} 
    797 \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,u \right) \hfill \\ 
    798 \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,v \right) \hfill \\       \end{array}} }           \right)   \;dv  
    799 -   \frac{1}{2} \int_D {  {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \frac{\partial  e_3 }{\partial t} \;dv } =\;0 
     801\begin{equation} 
     802  \label{eq:C_ADV_KE_flux} 
     803  -  \int_D \textbf{U}_h \cdot     \left(                 {{ 
     804        \begin{array} {*{20}c} 
     805          \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,u \right) \hfill \\ 
     806          \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,v \right) \hfill \\ 
     807        \end{array} 
     808      } }           \right)   \;dv 
     809  -   \frac{1}{2} \int_D {  {\textbf{U}_h}^2 \frac{1}{e_3} \frac{\partial  e_3 }{\partial t} \;dv } =\;0 
    800810\end{equation} 
    801811 
     
    803813($i.e.$ just the the terms associated with the i-component of the advection): 
    804814\begin{flalign*} 
    805 &  - \int_D u \cdot \nabla \cdot \left(   \textbf{U}\,u   \right) \; dv   \\ 
    806 % 
    807 \equiv& - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{    \frac{1} {b_u}    \biggl(    
    808       \delta_{i+1/2}  \left[   \overline {U}^{\,i}      \;\overline u^{\,i}          \right]    
    809    + \delta_j           \left[   \overline {V}^{\,i+1/2}\;\overline u^{\,j+1/2}   \right]    
    810    + \delta_k          \left[   \overline {W}^{\,i+1/2}\;\overline u^{\,k+1/2} \right]  \biggr)   \;   \biggr\} \, b_u \;u &&&  \\  
    811 % 
    812 \equiv& - \sum\limits_{i,j,k}  
    813    \biggl\{  
    814       \delta_{i+1/2} \left[   \overline {U}^{\,i}\;  \overline u^{\,i}  \right] 
    815    + \delta_j          \left[   \overline {V}^{\,i+1/2}\;\overline u^{\,j+1/2}   \right] 
    816    + \delta_k         \left[   \overline {W}^{\,i+12}\;\overline u^{\,k+1/2}  \right] 
    817       \; \biggr\} \; u     \\ 
    818 % 
    819 \equiv& + \sum\limits_{i,j,k} 
    820    \biggl\{  
    821       \overline {U}^{\,i}\;   \overline u^{\,i}    \delta_i \left[ u \right]  
    822         + \overline {V}^{\,i+1/2}\; \overline u^{\,j+1/2}   \delta_{j+1/2} \left[ u \right]  
    823         + \overline {W}^{\,i+1/2}\; \overline u^{\,k+1/2}   \delta_{k+1/2}    \left[ u \right]     \biggr\}     && \\ 
    824 % 
    825 \equiv& + \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j,k}    \biggl\{  
    826        \overline{U}^{\,i}     \delta_i       \left[ u^2 \right]  
    827     + \overline{V}^{\,i+1/2}  \delta_{j+/2}  \left[ u^2 \right] 
    828     + \overline{W}^{\,i+1/2}  \delta_{k+1/2}    \left[ u^2 \right]      \biggr\} && \\ 
    829 % 
    830 \equiv& -  \sum\limits_{i,j,k}    \frac{1}{2}   \bigg\{  
    831        U  \; \delta_{i+1/2}    \left[ \overline {u^2}^{\,i} \right] 
    832          + V  \; \delta_{j+1/2}    \left[ \overline {u^2}^{\,i} \right] 
    833     + W \; \delta_{k+1/2}   \left[ \overline {u^2}^{\,i} \right]     \biggr\}    &&& \\ 
    834 % 
    835 \equiv& - \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1}{2}  \overline {u^2}^{\,i}     \biggl\{  
    836       \delta_{i+1/2}    \left[ U  \right] 
    837    + \delta_{j+1/2}  \left[ V  \right] 
    838    + \delta_{k+1/2}  \left[ W \right]     \biggr\}    &&& \\ 
    839 % 
    840 \equiv& + \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1}{2}  \overline {u^2}^{\,i}  
    841    \biggl\{     \left(   \frac{1}{e_{3t}} \frac{\partial e_{3t}}{\partial t}   \right) \; b_t     \biggr\}    &&& \\ 
     815  &  - \int_D u \cdot \nabla \cdot \left(   \textbf{U}\,u   \right) \; dv   \\ 
     816  % 
     817  \equiv& - \sum\limits_{i,j,k} \biggl\{    \frac{1} {b_u}    \biggl( 
     818  \delta_{i+1/2}  \left[   \overline {U}^{\,i}      \;\overline u^{\,i}          \right] 
     819  + \delta_j           \left[   \overline {V}^{\,i+1/2}\;\overline u^{\,j+1/2}   \right] 
     820  + \delta_k          \left[   \overline {W}^{\,i+1/2}\;\overline u^{\,k+1/2} \right]  \biggr)   \;   \biggr\} \, b_u \;u &&&  \\ 
     821  % 
     822  \equiv& - \sum\limits_{i,j,k} 
     823  \biggl\{ 
     824  \delta_{i+1/2} \left[   \overline {U}^{\,i}\;  \overline u^{\,i}  \right] 
     825  + \delta_j          \left[   \overline {V}^{\,i+1/2}\;\overline u^{\,j+1/2}   \right] 
     826  + \delta_k         \left[   \overline {W}^{\,i+12}\;\overline u^{\,k+1/2}  \right] 
     827  \; \biggr\} \; u     \\ 
     828  % 
     829  \equiv& + \sum\limits_{i,j,k} 
     830  \biggl\{ 
     831  \overline {U}^{\,i}\; \overline u^{\,i}    \delta_i \left[ u \right] 
     832  + \overline {V}^{\,i+1/2}\; \overline u^{\,j+1/2}   \delta_{j+1/2} \left[ u \right] 
     833  + \overline {W}^{\,i+1/2}\; \overline u^{\,k+1/2}   \delta_{k+1/2}    \left[ u \right]     \biggr\}     && \\ 
     834  % 
     835  \equiv& + \frac{1}{2} \sum\limits_{i,j,k}    \biggl\{ 
     836  \overline{U}^{\,i}       \delta_i       \left[ u^2 \right] 
     837  + \overline{V}^{\,i+1/2}    \delta_{j+/2}  \left[ u^2 \right] 
     838  + \overline{W}^{\,i+1/2}    \delta_{k+1/2}    \left[ u^2 \right]      \biggr\} && \\ 
     839  % 
     840  \equiv& -  \sum\limits_{i,j,k}    \frac{1}{2}   \bigg\{ 
     841  U  \; \delta_{i+1/2}    \left[ \overline {u^2}^{\,i} \right] 
     842  + V  \; \delta_{j+1/2}    \left[ \overline {u^2}^{\,i} \right] 
     843  + W \; \delta_{k+1/2}   \left[ \overline {u^2}^{\,i} \right]     \biggr\}    &&& \\ 
     844  % 
     845  \equiv& - \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1}{2}  \overline {u^2}^{\,i}     \biggl\{ 
     846  \delta_{i+1/2}  \left[ U  \right] 
     847  + \delta_{j+1/2}   \left[ V  \right] 
     848  + \delta_{k+1/2}   \left[ W \right]     \biggr\}    &&& \\ 
     849  % 
     850  \equiv& + \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1}{2}  \overline {u^2}^{\,i} 
     851  \biggl\{     \left(   \frac{1}{e_{3t}} \frac{\partial e_{3t}}{\partial t}   \right) \; b_t     \biggr\}    &&& \\ 
    842852\end{flalign*} 
    843853Applying similar manipulation applied to the second term of the scalar product leads to: 
    844 \begin{equation*} 
    845  -  \int_D \textbf{U}_h \cdot     \left(                 {{\begin{array} {*{20}c} 
    846 \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,u \right) \hfill \\ 
    847 \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,v \right) \hfill \\       \end{array}} }           \right)   \;dv      
    848 \equiv + \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1}{2}  \left( \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j} \right) 
    849    \biggl\{     \left(   \frac{1}{e_{3t}} \frac{\partial e_{3t}}{\partial t}   \right) \; b_t     \biggr\}     
    850 \end{equation*} 
     854\[ 
     855  -  \int_D \textbf{U}_h \cdot     \left(                 {{ 
     856        \begin{array} {*{20}c} 
     857          \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,u \right) \hfill \\ 
     858          \nabla \cdot \left( \textbf{U}\,v \right) \hfill \\ 
     859        \end{array} 
     860      } }           \right)   \;dv 
     861  \equiv + \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1}{2}  \left( \overline {u^2}^{\,i} + \overline {v^2}^{\,j} \right) 
     862  \biggl\{     \left(   \frac{1}{e_{3t}} \frac{\partial e_{3t}}{\partial t}   \right) \; b_t     \biggr\} 
     863\] 
    851864which is the discrete form of $ \frac{1}{2} \int_D u \cdot \nabla \cdot \left(   \textbf{U}\,u   \right) \; dv $. 
    852865\autoref{eq:C_ADV_KE_flux} is thus satisfied. 
    853  
    854866 
    855867When the UBS scheme is used to evaluate the flux form momentum advection, 
     
    857869The horizontal kinetic energy is not conserved, but forced to decay ($i.e.$ the scheme is diffusive).  
    858870 
    859  
    860  
    861  
    862  
    863  
    864  
    865  
    866  
    867  
    868871% ================================================================ 
    869872% Discrete Enstrophy Conservation 
     
    872875\label{sec:C.4} 
    873876 
    874  
    875877% ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
    876878%       Vorticity Term with ENS scheme 
     
    880882 
    881883In the ENS scheme, the vorticity term is descretized as follows: 
    882 \begin{equation} \tag{\ref{eq:dynvor_ens}} 
    883 \left\{   \begin{aligned} 
    884 +\frac{1}{e_{1u}} & \overline{q}^{\,i}  & {\overline{ \overline{\left( e_{1v}\,e_{3v}\;  v \right) } } }^{\,i, j+1/2}    \\ 
    885 - \frac{1}{e_{2v}} & \overline{q}^{\,j}  & {\overline{ \overline{\left( e_{2u}\,e_{3u}\; u \right) } } }^{\,i+1/2, j}   
    886 \end{aligned}  \right. 
     884\begin{equation} 
     885  \tag{\ref{eq:dynvor_ens}} 
     886  \left\{ 
     887    \begin{aligned} 
     888      +\frac{1}{e_{1u}} & \overline{q}^{\,i}  & {\overline{ \overline{\left( e_{1v}\,e_{3v}\;  v \right) } } }^{\,i, j+1/2}    \\ 
     889      - \frac{1}{e_{2v}} & \overline{q}^{\,j}  & {\overline{ \overline{\left( e_{2u}\,e_{3u}\; u \right) } } }^{\,i+1/2, j} 
     890    \end{aligned} 
     891  \right. 
    887892\end{equation}  
    888893 
     
    892897( \autoref{eq:DOM_mi_adj} and \autoref{eq:DOM_di_adj}), 
    893898it can be shown that: 
    894 \begin{equation} \label{eq:C_1.1} 
    895 \int_D {q\,\;{\textbf{k}}\cdot \frac{1} {e_3} \nabla \times \left( {e_3 \, q \;{\textbf{k}}\times {\textbf{U}}_h } \right)\;dv} \equiv 0 
     899\begin{equation} 
     900  \label{eq:C_1.1} 
     901  \int_D {q\,\;{\textbf{k}}\cdot \frac{1} {e_3} \nabla \times \left( {e_3 \, q \;{\textbf{k}}\times {\textbf{U}}_h } \right)\;dv} \equiv 0 
    896902\end{equation} 
    897903where $dv=e_1\,e_2\,e_3 \; di\,dj\,dk$ is the volume element. 
    898904Indeed, using \autoref{eq:dynvor_ens}, 
    899905the discrete form of the right hand side of \autoref{eq:C_1.1} can be transformed as follow: 
    900 \begin{flalign*}  
    901 &\int_D q \,\; \textbf{k} \cdot \frac{1} {e_3 } \nabla \times  
    902    \left(  e_3 \, q \; \textbf{k} \times  \textbf{U}_h   \right)\;   dv       \\ 
    903 % 
    904 & \qquad {\begin{array}{*{20}l}  
    905 &\equiv \sum\limits_{i,j,k}  
    906 q \ \left\{  \delta_{i+1/2}  \left[ - \,\overline {q}^{\,i}\;  \overline{\overline  U }^{\,i,j+1/ 2} \right]   
    907              - \delta_{j+1/2} \left[    \overline {q}^{\,j}\;  \overline{\overline  V }^{\,i+1/2, j} \right]     \right\}    \\  
    908 % 
    909 &\equiv \sum\limits_{i,j,k}  
    910    \left\{   \delta_i [q] \; \overline{q}^{\,i} \; \overline{  \overline U  }^{\,i,j+1/2}  
    911       + \delta_j [q] \; \overline{q}^{\,j} \; \overline{\overline V }^{\,i+1/2,j}        \right\}       &&  \\  
    912 % 
    913 &\equiv \,\frac{1} {2} \sum\limits_{i,j,k}   
    914    \left\{         \delta_i  \left[ q^2 \right] \; \overline{\overline U }^{\,i,j+1/2}  
    915             + \delta_j  \left[ q^2 \right] \; \overline{\overline V }^{\,i+1/2,j}      \right\}    &&  \\  
    916 % 
    917 &\equiv - \frac{1} {2} \sum\limits_{i,j,k}   q^2 \; 
    918    \left\{    \delta_{i+1/2}   \left[   \overline{\overline{ U }}^{\,i,j+1/2}    \right]   
    919             + \delta_{j+1/2}  \left[   \overline{\overline{ V }}^{\,i+1/2,j}     \right]    \right\}    && \\  
    920 \end{array} }      
    921 % 
    922 \allowdisplaybreaks 
    923 \intertext{ Since $\overline {\;\cdot \;} $ and $\delta $ operators commute: $\delta_{i+1/2}  
    924 \left[ {\overline a^{\,i}} \right] = \overline {\delta_i \left[ a \right]}^{\,i+1/2}$,  
    925 and introducing the horizontal divergence $\chi $, it becomes: } 
    926 \allowdisplaybreaks 
    927 % 
    928 & \qquad {\begin{array}{*{20}l}  
    929 &\equiv \sum\limits_{i,j,k} - \frac{1} {2} q^2 \; \overline{\overline{ e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}^{}\, \chi}}^{\,i+1/2,j+1/2}  
    930 \quad \equiv 0 && 
    931 \end{array} }      
     906\begin{flalign*} 
     907  &\int_D q \,\; \textbf{k} \cdot \frac{1} {e_3 } \nabla \times 
     908  \left(  e_3 \, q \; \textbf{k} \times  \textbf{U}_h   \right)\;   dv \\ 
     909  % 
     910  & \qquad 
     911  { 
     912    \begin{array}{*{20}l} 
     913      &\equiv \sum\limits_{i,j,k} 
     914        q \ \left\{  \delta_{i+1/2}  \left[ - \,\overline {q}^{\,i}\;  \overline{\overline  U }^{\,i,j+1/ 2} \right] 
     915        - \delta_{j+1/2} \left[   \overline {q}^{\,j}\;  \overline{\overline  V }^{\,i+1/2, j} \right]     \right\}    \\ 
     916      % 
     917      &\equiv \sum\limits_{i,j,k} 
     918        \left\{   \delta_i [q] \; \overline{q}^{\,i} \; \overline{  \overline U  }^{\,i,j+1/2} 
     919        + \delta_j [q] \; \overline{q}^{\,j} \; \overline{\overline V }^{\,i+1/2,j}        \right\}       &&  \\ 
     920      % 
     921      &\equiv \,\frac{1} {2} \sum\limits_{i,j,k} 
     922        \left\{         \delta_i  \left[ q^2 \right] \; \overline{\overline U }^{\,i,j+1/2} 
     923        + \delta_j  \left[ q^2 \right] \; \overline{\overline V }^{\,i+1/2,j}      \right\}    &&  \\ 
     924      % 
     925      &\equiv - \frac{1} {2} \sum\limits_{i,j,k}   q^2 \; 
     926        \left\{    \delta_{i+1/2}   \left[   \overline{\overline{ U }}^{\,i,j+1/2}    \right] 
     927        + \delta_{j+1/2}  \left[   \overline{\overline{ V }}^{\,i+1/2,j}     \right]    \right\}    && \\ 
     928    \end{array} 
     929  } 
     930  % 
     931  \allowdisplaybreaks 
     932  \intertext{ Since $\overline {\;\cdot \;} $ and $\delta $ operators commute: $\delta_{i+1/2} 
     933    \left[ {\overline a^{\,i}} \right] = \overline {\delta_i \left[ a \right]}^{\,i+1/2}$, 
     934    and introducing the horizontal divergence $\chi $, it becomes: } 
     935  \allowdisplaybreaks 
     936  % 
     937  & \qquad { 
     938    \begin{array}{*{20}l} 
     939      &\equiv \sum\limits_{i,j,k} - \frac{1} {2} q^2 \; \overline{\overline{ e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}^{}\, \chi}}^{\,i+1/2,j+1/2} 
     940        \quad \equiv 0 && 
     941    \end{array} 
     942  } 
    932943\end{flalign*} 
    933944The later equality is obtain only when the flow is horizontally non-divergent, $i.e.$ $\chi$=$0$.  
    934  
    935945 
    936946% ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
     
    941951 
    942952With the EEN scheme, the vorticity terms are represented as:  
    943 \begin{equation} \tag{\ref{eq:dynvor_een}} 
    944 \left\{ {    \begin{aligned} 
    945  +q\,e_3 \, v  &\equiv +\frac{1}{e_{1u} }   \sum_{\substack{i_p,\,k_p}}  
    946                          {^{i+1/2-i_p}_j}  \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}  \left( e_{1v} e_{3v} \ v  \right)^{i+i_p-1/2}_{j+j_p}   \\ 
    947  - q\,e_3 \, u     &\equiv -\frac{1}{e_{2v} }    \sum_{\substack{i_p,\,k_p}}  
    948                          {^i_{j+1/2-j_p}}  \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}  \left( e_{2u} e_{3u} \ u  \right)^{i+i_p}_{j+j_p-1/2}   \\ 
    949 \end{aligned}   } \right. 
     953\begin{equation} 
     954  \tag{\ref{eq:dynvor_een}} 
     955  \left\{ { 
     956      \begin{aligned} 
     957        +q\,e_3 \, v    &\equiv +\frac{1}{e_{1u} }   \sum_{\substack{i_p,\,k_p}} 
     958        {^{i+1/2-i_p}_j}  \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}  \left( e_{1v} e_{3v} \ v  \right)^{i+i_p-1/2}_{j+j_p}   \\ 
     959        - q\,e_3 \, u     &\equiv -\frac{1}{e_{2v} }    \sum_{\substack{i_p,\,k_p}} 
     960        {^i_{j+1/2-j_p}}  \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}  \left( e_{2u} e_{3u} \ u  \right)^{i+i_p}_{j+j_p-1/2}   \\ 
     961      \end{aligned} 
     962    } \right. 
    950963\end{equation}  
    951964where the indices $i_p$ and $k_p$ take the following values:  
    952965$i_p = -1/2$ or $1/2$ and $j_p = -1/2$ or $1/2$, 
    953966and the vorticity triads, ${^i_j}\mathbb{Q}^{i_p}_{j_p}$, defined at $T$-point, are given by:  
    954 \begin{equation} \tag{\ref{eq:Q_triads}} 
    955 _i^j \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} 
    956 = \frac{1}{12} \ \left(   q^{i-i_p}_{j+j_p} + q^{i+j_p}_{j+i_p} + q^{i+i_p}_{j-j_p}  \right) 
     967\begin{equation} 
     968  \tag{\ref{eq:Q_triads}} 
     969  _i^j \mathbb{Q}^{i_p}_{j_p} 
     970  = \frac{1}{12} \ \left(   q^{i-i_p}_{j+j_p} + q^{i+j_p}_{j+i_p} + q^{i+i_p}_{j-j_p}  \right) 
    957971\end{equation} 
    958  
    959972 
    960973This formulation does conserve the potential enstrophy for a horizontally non-divergent flow ($i.e.$ $\chi=0$).  
     
    965978this triad only can be transformed as follow: 
    966979 
    967 \begin{flalign*}  
    968 &\int_D {q\,\;{\textbf{k}}\cdot \frac{1} {e_3} \nabla \times \left( {e_3 \, q \;{\textbf{k}}\times {\textbf{U}}_h } \right)\;dv} \\ 
    969 % 
    970 \equiv& \sum\limits_{i,j,k}  
    971  {q} \    \biggl\{ \;\; 
    972    \delta_{i+1/2} \left[   -\, {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \; U^{i+1/2}_{j}}    \right]   
    973       - \delta_{j+1/2} \left[       {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \; V^{i}_{j+1/2}}    \right]  
    974    \;\;\biggr\}        &&  \\  
    975 % 
    976 \equiv& \sum\limits_{i,j,k}  
    977    \biggl\{   \delta_i [q] \  {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \; U^{i+1/2}_{j}} 
    978          + \delta_j [q] \  {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \; V^{i}_{j+1/2}}   \biggr\} 
    979       && \\  
    980 % 
    981 ... & &&\\ 
    982 &Demonstation \ to \ be \ done... &&\\ 
    983 ... & &&\\ 
    984 % 
    985 \equiv& \frac{1} {2} \sum\limits_{i,j,k}   
    986    \biggl\{ \delta_i    \Bigl[    \left(  {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}} \right)^2   \Bigr]\; 
    987          \overline{\overline {U}}^{\,i,j+1/2}  
    988             + \delta_j  \Bigl[    \left( {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}} \right)^2     \Bigr]\;  
    989          \overline{\overline {V}}^{\,i+1/2,j}  
    990    \biggr\}  
    991    &&  \\  
    992 % 
    993 \equiv& - \frac{1} {2} \sum\limits_{i,j,k}   \left( {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}} \right)^2\; 
    994    \biggl\{    \delta_{i+1/2}  
    995          \left[   \overline{\overline {U}}^{\,i,j+1/2}    \right]   
    996                + \delta_{j+1/2} 
    997       \left[   \overline{\overline {V}}^{\,i+1/2,j}     \right]   
    998    \biggr\}    && \\  
    999 % 
    1000 \equiv& \sum\limits_{i,j,k} - \frac{1} {2} \left( {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}} \right)^2 
    1001                                                             \; \overline{\overline{ b_t^{}\, \chi}}^{\,i+1/2,\,j+1/2}  &&\\ 
    1002 % 
    1003 \ \ \equiv& \ 0     &&\\ 
    1004 \end{flalign*} 
    1005  
    1006  
    1007  
    1008  
     980\begin{flalign*} 
     981  &\int_D {q\,\;{\textbf{k}}\cdot \frac{1} {e_3} \nabla \times \left( {e_3 \, q \;{\textbf{k}}\times {\textbf{U}}_h } \right)\;dv} \\ 
     982  % 
     983  \equiv& \sum\limits_{i,j,k} 
     984  {q} \    \biggl\{ \;\; 
     985  \delta_{i+1/2} \left[   -\, {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \; U^{i+1/2}_{j}}    \right] 
     986  - \delta_{j+1/2} \left[       {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \; V^{i}_{j+1/2}}    \right] 
     987  \;\;\biggr\}        &&  \\ 
     988  % 
     989  \equiv& \sum\limits_{i,j,k} 
     990  \biggl\{   \delta_i [q] \  {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \; U^{i+1/2}_{j}} 
     991  + \delta_j [q] \  {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}  \; V^{i}_{j+1/2}}   \biggr\} 
     992  && \\ 
     993  % 
     994  ... & &&\\ 
     995  &Demonstation \ to \ be \ done... &&\\ 
     996  ... & &&\\ 
     997  % 
     998  \equiv& \frac{1} {2} \sum\limits_{i,j,k} 
     999  \biggl\{  \delta_i    \Bigl[    \left(  {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}} \right)^2   \Bigr]\; 
     1000  \overline{\overline {U}}^{\,i,j+1/2} 
     1001  + \delta_j   \Bigl[    \left( {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}} \right)^2     \Bigr]\; 
     1002  \overline{\overline {V}}^{\,i+1/2,j} 
     1003  \biggr\} 
     1004  &&  \\ 
     1005  % 
     1006  \equiv& - \frac{1} {2} \sum\limits_{i,j,k}    \left( {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}} \right)^2\; 
     1007  \biggl\{    \delta_{i+1/2} 
     1008  \left[   \overline{\overline {U}}^{\,i,j+1/2}    \right] 
     1009  + \delta_{j+1/2} 
     1010  \left[   \overline{\overline {V}}^{\,i+1/2,j}     \right] 
     1011  \biggr\}    && \\ 
     1012  % 
     1013  \equiv& \sum\limits_{i,j,k} - \frac{1} {2} \left( {{^i_j}\mathbb{Q}^{+1/2}_{+1/2}} \right)^2 
     1014  \; \overline{\overline{ b_t^{}\, \chi}}^{\,i+1/2,\,j+1/2}  &&\\ 
     1015  % 
     1016  \ \ \equiv& \ 0     &&\\ 
     1017\end{flalign*} 
    10091018 
    10101019% ================================================================ 
     
    10131022\section{Conservation properties on tracers} 
    10141023\label{sec:C.5} 
    1015  
    10161024 
    10171025All the numerical schemes used in NEMO are written such that the tracer content is conserved by 
     
    10321040 
    10331041conservation of a tracer, $T$: 
    1034 \begin{equation*} 
    1035 \frac{\partial }{\partial t} \left(   \int_D {T\;dv}   \right)  
    1036 =  \int_D { \frac{1}{e_3}\frac{\partial \left( e_3 \, T \right)}{\partial t} \;dv }=0 
    1037 \end{equation*} 
     1042\[ 
     1043  \frac{\partial }{\partial t} \left(   \int_D {T\;dv}   \right) 
     1044  =  \int_D { \frac{1}{e_3}\frac{\partial \left( e_3 \, T \right)}{\partial t} \;dv }=0 
     1045\] 
    10381046 
    10391047conservation of its variance: 
    1040 \begin{flalign*}  
    1041 \frac{\partial }{\partial t} \left( \int_D {\frac{1}{2} T^2\;dv} \right) 
    1042 =&  \int_D { \frac{1}{e_3} Q      \frac{\partial \left( e_3 \, T \right) }{\partial t} \;dv }   
    1043 -   \frac{1}{2} \int_D {  T^2 \frac{1}{e_3} \frac{\partial  e_3 }{\partial t} \;dv } 
    1044 \end{flalign*} 
    1045  
     1048\begin{flalign*} 
     1049  \frac{\partial }{\partial t} \left( \int_D {\frac{1}{2} T^2\;dv} \right) 
     1050  =&  \int_D { \frac{1}{e_3} Q      \frac{\partial \left( e_3 \, T \right) }{\partial t} \;dv } 
     1051  -   \frac{1}{2} \int_D {  T^2 \frac{1}{e_3} \frac{\partial  e_3 }{\partial t} \;dv } 
     1052\end{flalign*} 
    10461053 
    10471054Whatever the advection scheme considered it conserves of the tracer content as 
     
    10511058the conservation of the tracer content due to the advection tendency is obtained as follows:  
    10521059\begin{flalign*} 
    1053 &\int_D { \frac{1}{e_3}\frac{\partial \left( e_3 \, T \right)}{\partial t} \;dv } = - \int_D \nabla \cdot \left( T \textbf{U} \right)\;dv    &&&\\ 
    1054 &\equiv - \sum\limits_{i,j,k}    \biggl\{ 
    1055     \frac{1} {b_t}  \left(  \delta_i    \left[   U \;\tau_u   \right] 
    1056                                 + \delta_j    \left[   V  \;\tau_v   \right] \right)  
    1057    + \frac{1} {e_{3t}} \delta_k \left[ w\;\tau_w \right]    \biggl\}  b_t   &&&\\ 
    1058 % 
    1059 &\equiv - \sum\limits_{i,j,k}     \left\{ 
    1060        \delta_i  \left[   U \;\tau_u   \right] 
    1061          + \delta_j  \left[   V  \;\tau_v   \right] 
     1060  &\int_D { \frac{1}{e_3}\frac{\partial \left( e_3 \, T \right)}{\partial t} \;dv } = - \int_D \nabla \cdot \left( T \textbf{U} \right)\;dv    &&&\\ 
     1061  &\equiv - \sum\limits_{i,j,k}    \biggl\{ 
     1062  \frac{1} {b_t}  \left(  \delta_i    \left[   U \;\tau_u   \right] 
     1063    + \delta_j    \left[   V  \;\tau_v   \right] \right) 
     1064  + \frac{1} {e_{3t}} \delta_k \left[ w\;\tau_w \right]    \biggl\}  b_t   &&&\\ 
     1065  % 
     1066  &\equiv - \sum\limits_{i,j,k}     \left\{ 
     1067    \delta_i  \left[   U \;\tau_u   \right] 
     1068    + \delta_j  \left[   V  \;\tau_v   \right] 
    10621069    + \delta_k \left[ W \;\tau_w \right] \right\}   && \\ 
    1063 &\equiv 0 &&& 
     1070  &\equiv 0 &&& 
    10641071\end{flalign*} 
    10651072 
     
    10681075It can be demonstarted as follows: 
    10691076\begin{flalign*} 
    1070 &\int_D { \frac{1}{e_3} Q      \frac{\partial \left( e_3 \, T \right) }{\partial t} \;dv } 
    1071 = - \int\limits_D \tau\;\nabla \cdot \left( T\; \textbf{U} \right)\;dv &&&\\ 
    1072 \equiv& - \sum\limits_{i,j,k} T\; 
    1073    \left\{ 
    1074       \delta_i  \left[ U  \overline T^{\,i+1/2}  \right] 
    1075    + \delta_j  \left[ V  \overline T^{\,j+1/2}  \right] 
    1076    + \delta_k \left[ W \overline T^{\,k+1/2} \right]          \right\} && \\ 
    1077 \equiv& + \sum\limits_{i,j,k}  
    1078    \left\{     U  \overline T^{\,i+1/2} \,\delta_{i+1/2}  \left[ T \right]  
    1079                  +  V  \overline T^{\,j+1/2} \;\delta_{j+1/2}  \left[ T \right] 
    1080                  +  W \overline T^{\,k+1/2}\;\delta_{k+1/2} \left[ T \right]     \right\}      &&\\ 
    1081 \equiv&  + \frac{1} {2}  \sum\limits_{i,j,k} 
    1082    \Bigl\{   U  \;\delta_{i+1/2} \left[ T^2 \right] 
    1083                  + V  \;\delta_{j+1/2}  \left[ T^2 \right] 
    1084                  + W \;\delta_{k+1/2} \left[ T^2 \right]   \Bigr\}     && \\  
    1085 \equiv& - \frac{1} {2}  \sum\limits_{i,j,k} T^2 
    1086    \Bigl\{    \delta_i  \left[ U  \right] 
    1087                   + \delta_j  \left[ V  \right] 
    1088                   + \delta_k \left[ W \right]     \Bigr\}      &&&  \\ 
    1089 \equiv& + \frac{1} {2}  \sum\limits_{i,j,k} T^2 
    1090    \Bigl\{   \frac{1}{e_{3t}} \frac{\partial e_{3t}\,T }{\partial t}     \Bigr\}      &&& \\ 
     1077  &\int_D { \frac{1}{e_3} Q      \frac{\partial \left( e_3 \, T \right) }{\partial t} \;dv } 
     1078  = - \int\limits_D \tau\;\nabla \cdot \left( T\; \textbf{U} \right)\;dv &&&\\ 
     1079  \equiv& - \sum\limits_{i,j,k} T\; 
     1080  \left\{ 
     1081    \delta_i  \left[ U  \overline T^{\,i+1/2}  \right] 
     1082    + \delta_j  \left[ V  \overline T^{\,j+1/2}  \right] 
     1083    + \delta_k \left[ W \overline T^{\,k+1/2} \right]          \right\} && \\ 
     1084  \equiv& + \sum\limits_{i,j,k} 
     1085  \left\{     U  \overline T^{\,i+1/2} \,\delta_{i+1/2}  \left[ T \right] 
     1086    +  V  \overline T^{\,j+1/2} \;\delta_{j+1/2}  \left[ T \right] 
     1087    +  W \overline T^{\,k+1/2}\;\delta_{k+1/2} \left[ T \right]     \right\}      &&\\ 
     1088  \equiv&  + \frac{1} {2}  \sum\limits_{i,j,k} 
     1089  \Bigl\{   U  \;\delta_{i+1/2} \left[ T^2 \right] 
     1090  + V  \;\delta_{j+1/2}  \left[ T^2 \right] 
     1091  + W \;\delta_{k+1/2} \left[ T^2 \right]   \Bigr\}     && \\ 
     1092  \equiv& - \frac{1} {2}  \sum\limits_{i,j,k} T^2 
     1093  \Bigl\{    \delta_i  \left[ U  \right] 
     1094  + \delta_j  \left[ V  \right] 
     1095  + \delta_k \left[ W \right]     \Bigr\}      &&&  \\ 
     1096  \equiv& + \frac{1} {2}  \sum\limits_{i,j,k} T^2 
     1097  \Bigl\{   \frac{1}{e_{3t}} \frac{\partial e_{3t}\,T }{\partial t}     \Bigr\}      &&& \\ 
    10911098\end{flalign*} 
    10921099which is the discrete form of $ \frac{1}{2} \int_D {  T^2 \frac{1}{e_3} \frac{\partial  e_3 }{\partial t} \;dv }$. 
     
    10971104\section{Conservation properties on lateral momentum physics} 
    10981105\label{sec:dynldf_properties} 
    1099  
    11001106 
    11011107The discrete formulation of the horizontal diffusion of momentum ensures 
     
    11221128The lateral momentum diffusion term conserves the potential vorticity: 
    11231129\begin{flalign*} 
    1124 &\int \limits_D \frac{1} {e_3 } \textbf{k} \cdot \nabla \times  
    1125    \Bigl[    \nabla_h  \left( A^{\,lm}\;\chi  \right) 
    1126            - \nabla_h \times \left( A^{\,lm}\;\zeta \; \textbf{k} \right)    \Bigr]\;dv   \\  
    1127 %\end{flalign*} 
    1128 %%%%%%%%%% recheck here....  (gm) 
    1129 %\begin{flalign*} 
    1130 =& \int \limits_D  -\frac{1} {e_3 } \textbf{k} \cdot \nabla \times  
    1131    \Bigl[ \nabla_h \times \left( A^{\,lm}\;\zeta \; \textbf{k} \right)  \Bigr]\;dv  \\  
    1132 %\end{flalign*} 
    1133 %\begin{flalign*} 
    1134 \equiv& \sum\limits_{i,j} 
    1135    \left\{ 
    1136      \delta_{i+1/2} \left[  \frac {e_{2v}} {e_{1v}\,e_{3v}}  \delta_i \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right]  \right] 
    1137    + \delta_{j+1/2} \left[  \frac {e_{1u}} {e_{2u}\,e_{3u}}  \delta_j \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right]  \right] 
    1138    \right\}     \\  
    1139 % 
    1140 \intertext{Using \autoref{eq:DOM_di_adj}, it follows:} 
    1141 % 
    1142 \equiv& \sum\limits_{i,j,k}  
    1143    -\,\left\{ 
    1144       \frac{e_{2v}} {e_{1v}\,e_{3v}}  \delta_i  \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right]\;\delta_i \left[ 1\right] 
     1130  &\int \limits_D \frac{1} {e_3 } \textbf{k} \cdot \nabla \times 
     1131  \Bigl[    \nabla_h  \left( A^{\,lm}\;\chi  \right) 
     1132  - \nabla_h \times \left( A^{\,lm}\;\zeta \; \textbf{k} \right)    \Bigr]\;dv   \\ 
     1133  % \end{flalign*} 
     1134  %%%%%%%%%% recheck here....  (gm) 
     1135  % \begin{flalign*} 
     1136  =& \int \limits_D  -\frac{1} {e_3 } \textbf{k} \cdot \nabla \times 
     1137  \Bigl[ \nabla_h \times \left( A^{\,lm}\;\zeta \; \textbf{k} \right)  \Bigr]\;dv  \\ 
     1138  % \end{flalign*} 
     1139  % \begin{flalign*} 
     1140  \equiv& \sum\limits_{i,j} 
     1141  \left\{ 
     1142    \delta_{i+1/2} \left[  \frac {e_{2v}} {e_{1v}\,e_{3v}}  \delta_i \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right]  \right] 
     1143    + \delta_{j+1/2} \left[  \frac {e_{1u}} {e_{2u}\,e_{3u}}  \delta_j \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right]  \right] 
     1144  \right\}   \\ 
     1145  % 
     1146  \intertext{Using \autoref{eq:DOM_di_adj}, it follows:} 
     1147  % 
     1148  \equiv& \sum\limits_{i,j,k} 
     1149  -\,\left\{ 
     1150    \frac{e_{2v}} {e_{1v}\,e_{3v}}  \delta_i \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right]\;\delta_i \left[ 1\right] 
    11451151    + \frac{e_{1u}} {e_{2u}\,e_{3u}}  \delta_j  \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right]\;\delta_j \left[ 1\right] 
    1146    \right\} \quad \equiv 0  
    1147     \\  
     1152  \right\} \quad \equiv 0 
     1153  \\ 
    11481154\end{flalign*} 
    11491155 
     
    11561162The lateral momentum diffusion term dissipates the horizontal kinetic energy: 
    11571163%\begin{flalign*} 
    1158 \begin{equation*} 
    1159 \begin{split} 
    1160 \int_D \textbf{U}_h \cdot  
    1161    \left[ \nabla_h      \right.   &     \left.       \left( A^{\,lm}\;\chi \right)       
    1162    - \nabla_h \times  \left( A^{\,lm}\;\zeta \;\textbf{k} \right)     \right] \; dv    \\ 
    1163 \\  %%% 
    1164 \equiv& \sum\limits_{i,j,k}  
    1165    \left\{ 
    1166      \frac{1} {e_{1u}}               \delta_{i+1/2} \left[  A_T^{\,lm}          \chi     \right] 
    1167    - \frac{1} {e_{2u}\,e_{3u}}  \delta_j           \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta   \right] 
    1168    \right\} \; e_{1u}\,e_{2u}\,e_{3u} \;u     \\ 
    1169 &\;\; +  \left\{ 
    1170       \frac{1} {e_{2u}}             \delta_{j+1/2} \left[ A_T^{\,lm}          \chi    \right]  
    1171    + \frac{1} {e_{1v}\,e_{3v}} \delta_i            \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right]  
    1172    \right\} \; e_{1v}\,e_{2u}\,e_{3v} \;v     \qquad \\  
    1173 \\  %%% 
    1174 \equiv& \sum\limits_{i,j,k}  
    1175    \Bigl\{ 
    1176      e_{2u}\,e_{3u} \;u\;  \delta_{i+1/2} \left[ A_T^{\,lm}           \chi    \right] 
    1177    - e_{1u}             \;u\;  \delta_j           \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right] 
    1178     \Bigl\}  
    1179     \\  
    1180 &\;\; + \Bigl\{ 
    1181       e_{1v}\,e_{3v} \;v\;  \delta_{j+1/2}  \left[ A_T^{\,lm}           \chi    \right] 
    1182    + e_{2v}             \;v\;  \delta_i            \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right] 
    1183    \Bigl\}      \\  
    1184 \\  %%% 
    1185 \equiv& \sum\limits_{i,j,k}  
    1186    - \Bigl( 
    1187      \delta_i   \left[  e_{2u}\,e_{3u} \;u  \right] 
    1188    + \delta_j  \left[  e_{1v}\,e_{3v}  \;v  \right]  
    1189         \Bigr) \;  A_T^{\,lm} \chi   \\  
    1190 &\;\; - \Bigl( 
    1191      \delta_{i+1/2}  \left[  e_{2v}  \;v  \right] 
    1192    - \delta_{j+1/2}  \left[  e_{1u} \;u  \right]  
    1193         \Bigr)\;  A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta      \\  
    1194 \\  %%% 
    1195 \equiv& \sum\limits_{i,j,k}  
    1196    - A_T^{\,lm}  \,\chi^2   \;e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t} 
    1197    - A_f ^{\,lm}  \,\zeta^2 \;e_{1f }\,e_{2f }\,e_{3f}   
    1198 \quad \leq 0       \\ 
    1199 \end{split} 
    1200 \end{equation*} 
     1164\[ 
     1165  \begin{split} 
     1166    \int_D \textbf{U}_h \cdot 
     1167    \left[ \nabla_h     \right.   &     \left.       \left( A^{\,lm}\;\chi \right) 
     1168      - \nabla_h \times  \left( A^{\,lm}\;\zeta \;\textbf{k} \right)     \right] \; dv    \\ 
     1169    \\  %%% 
     1170    \equiv& \sum\limits_{i,j,k} 
     1171    \left\{ 
     1172      \frac{1} {e_{1u}}               \delta_{i+1/2} \left[  A_T^{\,lm}          \chi     \right] 
     1173      - \frac{1} {e_{2u}\,e_{3u}}  \delta_j           \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta   \right] 
     1174    \right\} \; e_{1u}\,e_{2u}\,e_{3u} \;u     \\ 
     1175    &\;\; +    \left\{ 
     1176      \frac{1} {e_{2u}}             \delta_{j+1/2} \left[ A_T^{\,lm}          \chi    \right] 
     1177      + \frac{1} {e_{1v}\,e_{3v}} \delta_i            \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right] 
     1178    \right\} \; e_{1v}\,e_{2u}\,e_{3v} \;v     \qquad \\ 
     1179    \\  %%% 
     1180    \equiv& \sum\limits_{i,j,k} 
     1181    \Bigl\{ 
     1182    e_{2u}\,e_{3u} \;u\;  \delta_{i+1/2} \left[ A_T^{\,lm}           \chi    \right] 
     1183    - e_{1u}             \;u\;  \delta_j           \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right] 
     1184    \Bigl\} 
     1185    \\ 
     1186    &\;\; + \Bigl\{ 
     1187    e_{1v}\,e_{3v} \;v\;  \delta_{j+1/2}  \left[ A_T^{\,lm}           \chi    \right] 
     1188    + e_{2v}             \;v\;  \delta_i            \left[ A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta  \right] 
     1189    \Bigl\}      \\ 
     1190    \\  %%% 
     1191    \equiv& \sum\limits_{i,j,k} 
     1192    - \Bigl( 
     1193    \delta_i   \left[  e_{2u}\,e_{3u} \;u  \right] 
     1194    + \delta_j  \left[  e_{1v}\,e_{3v}  \;v  \right] 
     1195    \Bigr) \;  A_T^{\,lm} \chi   \\ 
     1196    &\;\; - \Bigl( 
     1197    \delta_{i+1/2}  \left[  e_{2v}  \;v  \right] 
     1198    - \delta_{j+1/2}  \left[  e_{1u} \;u  \right] 
     1199    \Bigr)\;  A_f^{\,lm} e_{3f} \zeta      \\ 
     1200    \\  %%% 
     1201    \equiv& \sum\limits_{i,j,k} 
     1202    - A_T^{\,lm}  \,\chi^2   \;e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t} 
     1203    - A_f ^{\,lm}  \,\zeta^2 \;e_{1f }\,e_{2f }\,e_{3f} 
     1204    \quad \leq 0       \\ 
     1205  \end{split} 
     1206\] 
    12011207 
    12021208% ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
     
    12081214The lateral momentum diffusion term dissipates the enstrophy when the eddy coefficients are horizontally uniform: 
    12091215\begin{flalign*} 
    1210 &\int\limits_D  \zeta \; \textbf{k} \cdot \nabla \times  
    1211    \left[   \nabla_h \left( A^{\,lm}\;\chi  \right) 
    1212           - \nabla_h \times \left( A^{\,lm}\;\zeta \; \textbf{k} \right)   \right]\;dv &&&\\ 
    1213 &\quad = A^{\,lm} \int \limits_D \zeta \textbf{k} \cdot \nabla \times  
    1214    \left[    \nabla_h \times \left( \zeta \; \textbf{k} \right)   \right]\;dv &&&\\ 
    1215 &\quad \equiv A^{\,lm} \sum\limits_{i,j,k}  \zeta \;e_{3f}  
    1216    \left\{     \delta_{i+1/2} \left[  \frac{e_{2v}} {e_{1v}\,e_{3v}} \delta_i \left[ e_{3f} \zeta  \right]   \right] 
    1217              + \delta_{j+1/2} \left[  \frac{e_{1u}} {e_{2u}\,e_{3u}} \delta_j \left[ e_{3f} \zeta  \right]   \right]      \right\}   &&&\\  
    1218 % 
    1219 \intertext{Using \autoref{eq:DOM_di_adj}, it follows:} 
    1220 % 
    1221 &\quad \equiv  - A^{\,lm} \sum\limits_{i,j,k}  
    1222    \left\{    \left(  \frac{1} {e_{1v}\,e_{3v}}  \delta_i \left[ e_{3f} \zeta  \right]  \right)^2   b_v 
    1223             + \left(  \frac{1} {e_{2u}\,e_{3u}}  \delta_j \left[ e_{3f} \zeta  \right] \right)^2   b_u  \right\}  \quad \leq \;0    &&&\\ 
     1216  &\int\limits_D  \zeta \; \textbf{k} \cdot \nabla \times 
     1217  \left[   \nabla_h \left( A^{\,lm}\;\chi  \right) 
     1218    - \nabla_h \times \left( A^{\,lm}\;\zeta \; \textbf{k} \right)   \right]\;dv &&&\\ 
     1219  &\quad = A^{\,lm} \int \limits_D \zeta \textbf{k} \cdot \nabla \times 
     1220  \left[    \nabla_h \times \left( \zeta \; \textbf{k} \right)   \right]\;dv &&&\\ 
     1221  &\quad \equiv A^{\,lm} \sum\limits_{i,j,k}  \zeta \;e_{3f} 
     1222  \left\{     \delta_{i+1/2} \left[  \frac{e_{2v}} {e_{1v}\,e_{3v}} \delta_i \left[ e_{3f} \zeta  \right]   \right] 
     1223    + \delta_{j+1/2} \left[  \frac{e_{1u}} {e_{2u}\,e_{3u}} \delta_j \left[ e_{3f} \zeta  \right]   \right]      \right\}   &&&\\ 
     1224  % 
     1225  \intertext{Using \autoref{eq:DOM_di_adj}, it follows:} 
     1226  % 
     1227  &\quad \equiv  - A^{\,lm} \sum\limits_{i,j,k} 
     1228  \left\{    \left(  \frac{1} {e_{1v}\,e_{3v}}  \delta_i \left[ e_{3f} \zeta  \right]  \right)^2   b_v 
     1229    + \left(  \frac{1} {e_{2u}\,e_{3u}}  \delta_j \left[ e_{3f} \zeta  \right] \right)^2   b_u  \right\}  \quad \leq \;0    &&&\\ 
    12241230\end{flalign*} 
    12251231 
     
    12341240The resulting term conserves the $\chi$ and dissipates $\chi^2$ when the eddy coefficients are horizontally uniform. 
    12351241\begin{flalign*} 
    1236 & \int\limits_D  \nabla_h \cdot  
    1237    \Bigl[     \nabla_h \left( A^{\,lm}\;\chi \right) 
    1238              - \nabla_h \times \left( A^{\,lm}\;\zeta \;\textbf{k} \right)    \Bigr]  dv 
    1239 = \int\limits_D  \nabla_h \cdot \nabla_h \left( A^{\,lm}\;\chi  \right)   dv   \\ 
    1240 % 
    1241 &\equiv \sum\limits_{i,j,k}  
    1242    \left\{   \delta_i \left[ A_u^{\,lm} \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}}  \delta_{i+1/2} \left[ \chi \right]  \right] 
    1243            + \delta_j \left[ A_v^{\,lm} \frac{e_{1v}\,e_{3v}} {e_{2v}}  \delta_{j+1/2} \left[ \chi \right]  \right]    \right\}    \\  
    1244 % 
    1245 \intertext{Using \autoref{eq:DOM_di_adj}, it follows:} 
    1246 % 
    1247 &\equiv \sum\limits_{i,j,k}  
    1248    - \left\{   \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}}  A_u^{\,lm} \delta_{i+1/2} \left[ \chi \right] \delta_{i+1/2} \left[ 1 \right]  
    1249              + \frac{e_{1v}\,e_{3v}} {e_{2v}}  A_v^{\,lm} \delta_{j+1/2} \left[ \chi \right] \delta_{j+1/2} \left[ 1 \right]    \right\}  
    1250    \quad \equiv 0      \\  
     1242  & \int\limits_D  \nabla_h \cdot 
     1243  \Bigl[     \nabla_h \left( A^{\,lm}\;\chi \right) 
     1244  - \nabla_h \times \left( A^{\,lm}\;\zeta \;\textbf{k} \right)    \Bigr]  dv 
     1245  = \int\limits_D  \nabla_h \cdot \nabla_h \left( A^{\,lm}\;\chi  \right)   dv   \\ 
     1246  % 
     1247  &\equiv \sum\limits_{i,j,k} 
     1248  \left\{   \delta_i \left[ A_u^{\,lm} \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}}  \delta_{i+1/2} \left[ \chi \right]  \right] 
     1249    + \delta_j \left[ A_v^{\,lm} \frac{e_{1v}\,e_{3v}} {e_{2v}}  \delta_{j+1/2} \left[ \chi \right]  \right]    \right\}    \\ 
     1250  % 
     1251  \intertext{Using \autoref{eq:DOM_di_adj}, it follows:} 
     1252  % 
     1253  &\equiv \sum\limits_{i,j,k} 
     1254  - \left\{   \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}}  A_u^{\,lm} \delta_{i+1/2} \left[ \chi \right] \delta_{i+1/2} \left[ 1 \right] 
     1255    + \frac{e_{1v}\,e_{3v}} {e_{2v}}  A_v^{\,lm} \delta_{j+1/2} \left[ \chi \right] \delta_{j+1/2} \left[ 1 \right]    \right\} 
     1256  \quad \equiv 0 
    12511257\end{flalign*} 
    12521258 
     
    12581264 
    12591265\begin{flalign*} 
    1260 &\int\limits_D \chi \;\nabla_h \cdot  
    1261    \left[    \nabla_h              \left( A^{\,lm}\;\chi                    \right) 
    1262            - \nabla_h   \times  \left( A^{\,lm}\;\zeta \;\textbf{k} \right)    \right]\;  dv 
    1263  = A^{\,lm}   \int\limits_D \chi \;\nabla_h \cdot \nabla_h \left( \chi \right)\;  dv    \\  
    1264 % 
    1265 &\equiv A^{\,lm}  \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1} {e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}}  \chi  
    1266    \left\{ 
    1267       \delta_i  \left[   \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}}  \delta_{i+1/2} \left[ \chi \right]   \right] 
    1268    + \delta_j  \left[   \frac{e_{1v}\,e_{3v}} {e_{2v}}   \delta_{j+1/2} \left[ \chi \right]   \right] 
    1269    \right\} \;   e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}    \\  
    1270 % 
    1271 \intertext{Using \autoref{eq:DOM_di_adj}, it turns out to be:} 
    1272 % 
    1273 &\equiv - A^{\,lm} \sum\limits_{i,j,k} 
    1274    \left\{    \left(  \frac{1} {e_{1u}}  \delta_{i+1/2}  \left[ \chi \right]  \right)^2  b_u 
    1275             + \left(  \frac{1} {e_{2v}}  \delta_{j+1/2}  \left[ \chi \right]  \right)^2  b_v    \right\}     
    1276 \quad \leq 0             \\ 
     1266  &\int\limits_D \chi \;\nabla_h \cdot 
     1267  \left[    \nabla_h              \left( A^{\,lm}\;\chi                    \right) 
     1268    - \nabla_h   \times  \left( A^{\,lm}\;\zeta \;\textbf{k} \right)    \right]\;  dv 
     1269  = A^{\,lm}   \int\limits_D \chi \;\nabla_h \cdot \nabla_h \left( \chi \right)\;  dv    \\ 
     1270  % 
     1271  &\equiv A^{\,lm}  \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1} {e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}}  \chi 
     1272  \left\{ 
     1273    \delta_i  \left[   \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}}  \delta_{i+1/2} \left[ \chi \right]   \right] 
     1274    + \delta_j  \left[   \frac{e_{1v}\,e_{3v}} {e_{2v}}   \delta_{j+1/2} \left[ \chi \right]   \right] 
     1275  \right\} \;   e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}    \\ 
     1276  % 
     1277  \intertext{Using \autoref{eq:DOM_di_adj}, it turns out to be:} 
     1278  % 
     1279  &\equiv - A^{\,lm} \sum\limits_{i,j,k} 
     1280  \left\{    \left(  \frac{1} {e_{1u}}  \delta_{i+1/2}  \left[ \chi \right]  \right)^2  b_u 
     1281    + \left(  \frac{1} {e_{2v}}  \delta_{j+1/2}  \left[ \chi \right]  \right)^2  b_v    \right\} 
     1282  \quad \leq 0 
    12771283\end{flalign*} 
    12781284 
     
    12871293The first two are associated with the conservation of momentum and the dissipation of horizontal kinetic energy: 
    12881294\begin{align*} 
    1289  \int\limits_D   \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k}  
    1290        \left(   \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   \right)\;  dv  
    1291    \qquad \quad &= \vec{\textbf{0}}    \\ 
    1292 % 
    1293 \intertext{and} 
    1294 % 
    1295 \int\limits_D  
    1296    \textbf{U}_h \cdot   \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
    1297    \left(   \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   \right)\; dv    \quad &\leq 0     \\ 
     1295  \int\limits_D   \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
     1296  \left(   \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   \right)\;  dv 
     1297  \qquad \quad &= \vec{\textbf{0}} 
     1298  % 
     1299  \intertext{and} 
     1300  % 
     1301                 \int\limits_D 
     1302                 \textbf{U}_h \cdot   \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
     1303                 \left(   \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   \right)\; dv    \quad &\leq 0 
    12981304\end{align*} 
    12991305 
     
    13011307The second results from: 
    13021308\begin{flalign*} 
    1303 \int\limits_D  
    1304    \textbf{U}_h \cdot   \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
    1305    \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   \right)\;dv    &&&\\ 
    1306 \end{flalign*} 
    1307 \begin{flalign*} 
    1308 &\equiv \sum\limits_{i,j,k}  
    1309    \left(  
    1310       u\; \delta_k \left[ \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2}  \left[ u \right]  \right]\;  e_{1u}\,e_{2u}  
    1311    + v\; \delta_k \left[ \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2}   \left[ v \right]  \right]\;  e_{1v}\,e_{2v} \right)   &&&\\  
    1312 % 
    1313 \intertext{since the horizontal scale factor does not depend on $k$, it follows:} 
    1314 % 
    1315 &\equiv - \sum\limits_{i,j,k}  
    1316    \left(  \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \left( \delta_{k+1/2} \left[ u \right] \right)^2\; e_{1u}\,e_{2u}  
    1317          + \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}}  \left( \delta_{k+1/2} \left[ v \right] \right)^2\; e_{1v}\,e_{2v}  \right) 
    1318 \quad \leq 0   &&&\\ 
     1309  \int\limits_D 
     1310  \textbf{U}_h \cdot   \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
     1311  \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   \right)\;dv    &&&\\ 
     1312\end{flalign*} 
     1313\begin{flalign*} 
     1314  &\equiv \sum\limits_{i,j,k} 
     1315  \left( 
     1316    u\; \delta_k \left[ \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2}  \left[ u \right]  \right]\;  e_{1u}\,e_{2u} 
     1317    + v\; \delta_k \left[ \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2}   \left[ v \right]  \right]\;  e_{1v}\,e_{2v} \right)   &&& 
     1318  % 
     1319  \intertext{since the horizontal scale factor does not depend on $k$, it follows:} 
     1320  % 
     1321  &\equiv - \sum\limits_{i,j,k} 
     1322  \left(  \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \left( \delta_{k+1/2} \left[ u \right] \right)^2\; e_{1u}\,e_{2u} 
     1323    + \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}}  \left( \delta_{k+1/2} \left[ v \right] \right)^2\; e_{1v}\,e_{2v}  \right) 
     1324  \quad \leq 0   &&& 
    13191325\end{flalign*} 
    13201326 
     
    13221328Indeed: 
    13231329\begin{flalign*} 
    1324 \int \limits_D  
    1325    \frac{1} {e_3 } \textbf{k} \cdot \nabla \times  
    1326       \left( \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k}  \left(  
    1327               \frac{A^{\,vm}} {e_3}\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   
    1328         \right)  \right)\; dv   &&&\\  
    1329 \end{flalign*} 
    1330 \begin{flalign*} 
    1331 \equiv \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1} {e_{3f}}\; \frac{1} {e_{1f}\,e_{2f}} 
    1332    \bigg\{    \biggr.   \quad 
    1333    \delta_{i+1/2}  
    1334       &\left(   \frac{e_{2v}} {e_{3v}} \delta_k  \left[  \frac{1} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2} \left[ v \right]  \right]  \right)   &&\\ 
    1335    \biggl.  
    1336    - \delta_{j+1/2}  
    1337       &\left(   \frac{e_{1u}} {e_{3u}} \delta_k \left[  \frac{1} {e_{3uw}}\delta_{k+1/2} \left[ u \right]  \right]   \right) 
    1338    \biggr\} \; 
    1339    e_{1f}\,e_{2f}\,e_{3f} \; \equiv 0   && \\ 
     1330  \int \limits_D 
     1331  \frac{1} {e_3 } \textbf{k} \cdot \nabla \times 
     1332  \left( \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k}  \left( 
     1333      \frac{A^{\,vm}} {e_3}\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k} 
     1334    \right)  \right)\; dv   &&& 
     1335\end{flalign*} 
     1336\begin{flalign*} 
     1337  \equiv \sum\limits_{i,j,k}  \frac{1} {e_{3f}}\; \frac{1} {e_{1f}\,e_{2f}} 
     1338  \bigg\{    \biggr.   \quad 
     1339  \delta_{i+1/2} 
     1340  &\left(   \frac{e_{2v}} {e_{3v}} \delta_k  \left[  \frac{1} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2} \left[ v \right]  \right]  \right)   &&\\ 
     1341  \biggl. 
     1342  - \delta_{j+1/2} 
     1343  &\left(   \frac{e_{1u}} {e_{3u}} \delta_k \left[  \frac{1} {e_{3uw}}\delta_{k+1/2} \left[ u \right]  \right]   \right) 
     1344  \biggr\} \; 
     1345  e_{1f}\,e_{2f}\,e_{3f} \; \equiv 0   && 
    13401346\end{flalign*} 
    13411347 
    13421348If the vertical diffusion coefficient is uniform over the whole domain, the enstrophy is dissipated, $i.e.$ 
    13431349\begin{flalign*} 
    1344 \int\limits_D \zeta \, \textbf{k} \cdot \nabla \times  
    1345    \left(   \frac{1} {e_3}\; \frac{\partial } {\partial k} 
    1346       \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   \right)   \right)\; dv = 0   &&&\\ 
     1350  \int\limits_D \zeta \, \textbf{k} \cdot \nabla \times 
     1351  \left(   \frac{1} {e_3}\; \frac{\partial } {\partial k} 
     1352    \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}   \right)   \right)\; dv = 0   &&& 
    13471353\end{flalign*} 
    13481354 
    13491355This property is only satisfied in $z$-coordinates: 
    13501356\begin{flalign*} 
    1351 \int\limits_D \zeta \, \textbf{k} \cdot \nabla \times  
    1352    \left(  \frac{1} {e_3}\; \frac{\partial } {\partial k} 
    1353       \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}  \right)   \right)\; dv   &&& \\  
    1354 \end{flalign*} 
    1355 \begin{flalign*} 
    1356 \equiv \sum\limits_{i,j,k} \zeta \;e_{3f} \; 
    1357    \biggl\{    \biggr.  \quad 
    1358    \delta_{i+1/2}  
    1359       &\left(   \frac{e_{2v}} {e_{3v}} \delta_k \left[ \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2}[v]  \right]   \right)   &&\\ 
    1360    - \delta_{j+1/2}  
    1361       &\biggl. 
    1362       \left(   \frac{e_{1u}} {e_{3u}} \delta_k \left[ \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2} [u]  \right]    \right) \biggr\}   &&\\  
    1363 \end{flalign*} 
    1364 \begin{flalign*} 
    1365 \equiv \sum\limits_{i,j,k} \zeta \;e_{3f}  
    1366    \biggl\{    \biggr.  \quad 
    1367    \frac{1} {e_{3v}} \delta_k  
    1368       &\left[ \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2} \left[ \delta_{i+1/2} \left[ e_{2v}\,v \right] \right]   \right]    &&\\  
    1369     \biggl.  
    1370    - \frac{1} {e_{3u}} \delta_k  
    1371       &\left[  \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2} \left[ \delta_{j+1/2} \left[ e_{1u}\,u \right] \right]  \right]  \biggr\}  &&\\  
     1357  \int\limits_D \zeta \, \textbf{k} \cdot \nabla \times 
     1358  \left(  \frac{1} {e_3}\; \frac{\partial } {\partial k} 
     1359    \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}  \right)   \right)\; dv   &&& 
     1360\end{flalign*} 
     1361\begin{flalign*} 
     1362  \equiv \sum\limits_{i,j,k} \zeta \;e_{3f} \; 
     1363  \biggl\{  \biggr.  \quad 
     1364  \delta_{i+1/2} 
     1365  &\left(   \frac{e_{2v}} {e_{3v}} \delta_k \left[ \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2}[v]  \right]   \right)   &&\\ 
     1366  - \delta_{j+1/2} 
     1367  &\biggl. 
     1368  \left(   \frac{e_{1u}} {e_{3u}} \delta_k \left[ \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2} [u]  \right]    \right) \biggr\}   && 
     1369\end{flalign*} 
     1370\begin{flalign*} 
     1371  \equiv \sum\limits_{i,j,k} \zeta \;e_{3f} 
     1372  \biggl\{     \biggr.  \quad 
     1373  \frac{1} {e_{3v}} \delta_k 
     1374  &\left[ \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2} \left[ \delta_{i+1/2} \left[ e_{2v}\,v \right] \right]   \right]    &&\\ 
     1375  \biggl. 
     1376  - \frac{1} {e_{3u}} \delta_k 
     1377  &\left[  \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2} \left[ \delta_{j+1/2} \left[ e_{1u}\,u \right] \right]  \right]  \biggr\}  && 
    13721378\end{flalign*} 
    13731379Using the fact that the vertical diffusion coefficients are uniform, 
     
    13751381$e_{3f} =e_{3u} =e_{3v} =e_{3t} $ and $e_{3w} =e_{3uw} =e_{3vw} $, it follows: 
    13761382\begin{flalign*} 
    1377 \equiv A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k} \zeta \;\delta_k  
    1378    \left[   \frac{1} {e_{3w}} \delta_{k+1/2} \Bigl[   \delta_{i+1/2} \left[ e_{2v}\,v \right] 
    1379                                 - \delta_{j+1/ 2} \left[ e_{1u}\,u \right]   \Bigr]    \right]    &&&\\ 
    1380 \end{flalign*} 
    1381 \begin{flalign*} 
    1382 \equiv - A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k} \frac{1} {e_{3w}} 
    1383    \left( \delta_{k+1/2} \left[ \zeta  \right] \right)^2 \; e_{1f}\,e_{2f}  \; \leq 0    &&&\\ 
     1383  \equiv A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k} \zeta \;\delta_k 
     1384  \left[   \frac{1} {e_{3w}} \delta_{k+1/2} \Bigl[   \delta_{i+1/2} \left[ e_{2v}\,v \right] 
     1385    - \delta_{j+1/ 2} \left[ e_{1u}\,u \right]   \Bigr]    \right]    &&& 
     1386\end{flalign*} 
     1387\begin{flalign*} 
     1388  \equiv - A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k} \frac{1} {e_{3w}} 
     1389  \left( \delta_{k+1/2} \left[ \zeta  \right] \right)^2 \; e_{1f}\,e_{2f}  \; \leq 0    &&& 
    13841390\end{flalign*} 
    13851391Similarly, the horizontal divergence is obviously conserved: 
    13861392 
    13871393\begin{flalign*} 
    1388 \int\limits_D \nabla \cdot  
    1389 \left( \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
    1390       \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k} \right) \right)\; dv = 0    &&&\\ 
     1394  \int\limits_D \nabla \cdot 
     1395  \left( \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
     1396    \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k} \right) \right)\; dv = 0    &&& 
    13911397\end{flalign*} 
    13921398and the square of the horizontal divergence decreases ($i.e.$ the horizontal divergence is dissipated) if 
     
    13941400 
    13951401\begin{flalign*} 
    1396 \int\limits_D \chi \;\nabla \cdot  
    1397 \left( \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
    1398       \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}  \right) \right)\;  dv = 0  &&&\\ 
     1402  \int\limits_D \chi \;\nabla \cdot 
     1403  \left( \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
     1404    \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k}  \right) \right)\;  dv = 0  &&& 
    13991405\end{flalign*} 
    14001406This property is only satisfied in the $z$-coordinate: 
    14011407\begin{flalign*} 
    1402 \int\limits_D \chi \;\nabla \cdot  
    1403 \left( \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
    1404       \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k} \right)  \right)\; dv    &&&\\ 
    1405 \end{flalign*} 
    1406 \begin{flalign*} 
    1407 \equiv \sum\limits_{i,j,k} \frac{\chi } {e_{1t}\,e_{2t}} 
    1408    \biggl\{    \Biggr.  \quad 
    1409    \delta_{i+1/2}  
    1410       &\left(   \frac{e_{2u}} {e_{3u}} \delta_k  
    1411             \left[ \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2} [u] \right] \right)    &&\\  
    1412    \Biggl.  
    1413    + \delta_{j+1/2}  
    1414       &\left( \frac{e_{1v}} {e_{3v}} \delta_k  
    1415          \left[ \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2} [v] \right]   \right) 
    1416    \Biggr\} \;  e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}   &&\\  
    1417 \end{flalign*} 
    1418  
    1419 \begin{flalign*} 
    1420 \equiv A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k}  \chi \, 
    1421    \biggl\{ \biggr.  \quad 
    1422    \delta_{i+1/2} 
    1423       &\left(  
    1424          \delta_k \left[  
    1425          \frac{1} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2} \left[ e_{2u}\,u \right] \right]   \right)    && \\  
    1426    \biggl.  
    1427    + \delta_{j+1/2}  
    1428       &\left(    \delta_k \left[  
    1429          \frac{1} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2} \left[ e_{1v}\,v \right] \right]   \right)   \biggr\}    && \\  
    1430 \end{flalign*} 
    1431  
    1432 \begin{flalign*} 
    1433 \equiv -A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k}  
    1434 \frac{\delta_{k+1/2} \left[ \chi \right]} {e_{3w}}\; \biggl\{  
    1435    \delta_{k+1/2} \Bigl[ 
    1436          \delta_{i+1/2} \left[ e_{2u}\,u \right] 
    1437       + \delta_{j+1/2} \left[ e_{1v}\,v \right]  \Bigr]    \biggr\}    &&&\\ 
    1438 \end{flalign*} 
    1439  
    1440 \begin{flalign*} 
    1441 \equiv -A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k} 
    1442  \frac{1} {e_{3w}} \delta_{k+1/2} \left[ \chi \right]\; \delta_{k+1/2} \left[ e_{1t}\,e_{2t} \;\chi \right]   &&&\\ 
    1443 \end{flalign*} 
    1444  
    1445 \begin{flalign*} 
    1446 \equiv -A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k}  
    1447 \frac{e_{1t}\,e_{2t}} {e_{3w}}\; \left( \delta_{k+1/2} \left[ \chi \right]  \right)^2     \quad  \equiv 0    &&&\\ 
     1408  \int\limits_D \chi \;\nabla \cdot 
     1409  \left( \frac{1} {e_3 }\; \frac{\partial } {\partial k} 
     1410    \left( \frac{A^{\,vm}} {e_3 }\; \frac{\partial \textbf{U}_h } {\partial k} \right)  \right)\; dv    &&& 
     1411\end{flalign*} 
     1412\begin{flalign*} 
     1413  \equiv \sum\limits_{i,j,k} \frac{\chi } {e_{1t}\,e_{2t}} 
     1414  \biggl\{  \Biggr.  \quad 
     1415  \delta_{i+1/2} 
     1416  &\left(   \frac{e_{2u}} {e_{3u}} \delta_k 
     1417    \left[ \frac{A_u^{\,vm}} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2} [u] \right] \right)    &&\\ 
     1418  \Biggl. 
     1419  + \delta_{j+1/2} 
     1420  &\left( \frac{e_{1v}} {e_{3v}} \delta_k 
     1421    \left[ \frac{A_v^{\,vm}} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2} [v] \right]   \right) 
     1422  \Biggr\} \;  e_{1t}\,e_{2t}\,e_{3t}   && 
     1423\end{flalign*} 
     1424 
     1425\begin{flalign*} 
     1426  \equiv A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k}  \chi \, 
     1427  \biggl\{  \biggr.  \quad 
     1428  \delta_{i+1/2} 
     1429  &\left( 
     1430    \delta_k \left[ 
     1431      \frac{1} {e_{3uw}} \delta_{k+1/2} \left[ e_{2u}\,u \right] \right]   \right)    && \\ 
     1432  \biggl. 
     1433  + \delta_{j+1/2} 
     1434  &\left(    \delta_k \left[ 
     1435      \frac{1} {e_{3vw}} \delta_{k+1/2} \left[ e_{1v}\,v \right] \right]   \right)   \biggr\}    && 
     1436\end{flalign*} 
     1437 
     1438\begin{flalign*} 
     1439  \equiv -A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k} 
     1440  \frac{\delta_{k+1/2} \left[ \chi \right]} {e_{3w}}\; \biggl\{ 
     1441  \delta_{k+1/2} \Bigl[ 
     1442  \delta_{i+1/2} \left[ e_{2u}\,u \right] 
     1443  + \delta_{j+1/2} \left[ e_{1v}\,v \right]  \Bigr]    \biggr\}    &&& 
     1444\end{flalign*} 
     1445 
     1446\begin{flalign*} 
     1447  \equiv -A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k} 
     1448  \frac{1} {e_{3w}} \delta_{k+1/2} \left[ \chi \right]\; \delta_{k+1/2} \left[ e_{1t}\,e_{2t} \;\chi \right]   &&& 
     1449\end{flalign*} 
     1450 
     1451\begin{flalign*} 
     1452  \equiv -A^{\,vm} \sum\limits_{i,j,k} 
     1453  \frac{e_{1t}\,e_{2t}} {e_{3w}}\; \left( \delta_{k+1/2} \left[ \chi \right]  \right)^2     \quad  \equiv 0    &&& 
    14481454\end{flalign*} 
    14491455 
     
    14681474constraint of conservation of tracers: 
    14691475\begin{flalign*} 
    1470 &\int\limits_D  \nabla  \cdot \left( A\;\nabla T \right)\;dv  &&&\\  
    1471 \\ 
    1472 &\equiv \sum\limits_{i,j,k}  
    1473    \biggl\{    \biggr. 
    1474    \delta_i  
    1475       \left[  
    1476       A_u^{\,lT} \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}} \delta_{i+1/2}  
    1477          \left[ T \right] 
    1478       \right] 
    1479    + \delta_j  
    1480       \left[  
    1481       A_v^{\,lT} \frac{e_{1v}\,e_{3v}} {e_{2v}} \delta_{j+1/2}  
    1482          \left[ T \right]  
    1483       \right] 
    1484    &&\\  & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\; 
    1485    + \delta_k  
    1486       \left[  
    1487       A_w^{\,vT} \frac{e_{1t}\,e_{2t}} {e_{3t}} \delta_{k+1/2}  
    1488          \left[ T \right]  
    1489       \right] 
    1490    \biggr\}   \quad  \equiv 0 
    1491    &&\\  
     1476  &\int\limits_D  \nabla  \cdot \left( A\;\nabla T \right)\;dv  &&& \\ \\ 
     1477  &\equiv \sum\limits_{i,j,k} 
     1478  \biggl\{  \biggr. 
     1479  \delta_i 
     1480  \left[ 
     1481    A_u^{\,lT} \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}} \delta_{i+1/2} 
     1482    \left[ T \right] 
     1483  \right] 
     1484  + \delta_j 
     1485  \left[ 
     1486    A_v^{\,lT} \frac{e_{1v}\,e_{3v}} {e_{2v}} \delta_{j+1/2} 
     1487    \left[ T \right] 
     1488  \right] && \\ 
     1489  & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\; 
     1490  + \delta_k 
     1491  \left[ 
     1492    A_w^{\,vT} \frac{e_{1t}\,e_{2t}} {e_{3t}} \delta_{k+1/2} 
     1493    \left[ T \right] 
     1494  \right] 
     1495  \biggr\}   \quad  \equiv 0 
     1496  && 
    14921497\end{flalign*} 
    14931498 
     
    15021507constraint on the dissipation of tracer variance: 
    15031508\begin{flalign*} 
    1504 \int\limits_D T\;\nabla & \cdot \left( A\;\nabla T \right)\;dv &&&\\  
    1505 &\equiv   \sum\limits_{i,j,k} \; T 
    1506 \biggl\{  \biggr. 
    1507      \delta_i \left[ A_u^{\,lT} \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}} \delta_{i+1/2} \left[T\right] \right] 
    1508 & + \delta_j \left[ A_v^{\,lT} \frac{e_{1v} \,e_{3v}} {e_{2v}} \delta_{j+1/2} \left[T\right] \right]  
    1509       \quad&& \\  
    1510  \biggl.  
    1511 &&+ \delta_k \left[A_w^{\,vT}\frac{e_{1t}\,e_{2t}} {e_{3t}}\delta_{k+1/2}\left[T\right]\right] 
    1512 \biggr\} &&  
    1513 \end{flalign*} 
    1514 \begin{flalign*} 
    1515 \equiv - \sum\limits_{i,j,k}  
    1516    \biggl\{    \biggr.  \quad 
    1517    &    A_u^{\,lT} \left( \frac{1} {e_{1u}} \delta_{i+1/2} \left[ T \right]  \right)^2   e_{1u}\,e_{2u}\,e_{3u}    && \\ 
    1518    & + A_v^{\,lT} \left( \frac{1} {e_{2v}} \delta_{j+1/2} \left[ T \right]  \right)^2   e_{1v}\,e_{2v}\,e_{3v}     && \\ \biggl.  
    1519    & + A_w^{\,vT} \left( \frac{1} {e_{3w}} \delta_{k+1/2} \left[ T \right]   \right)^2    e_{1w}\,e_{2w}\,e_{3w}   \biggr\}  
    1520    \quad      \leq 0      && \\  
    1521 \end{flalign*} 
    1522  
     1509  \int\limits_D T\;\nabla & \cdot \left( A\;\nabla T \right)\;dv  &&&\\ 
     1510  &\equiv   \sum\limits_{i,j,k} \; T 
     1511  \biggl\{  \biggr. 
     1512  \delta_i \left[ A_u^{\,lT} \frac{e_{2u}\,e_{3u}} {e_{1u}} \delta_{i+1/2} \left[T\right] \right] 
     1513  & + \delta_j \left[ A_v^{\,lT} \frac{e_{1v} \,e_{3v}} {e_{2v}} \delta_{j+1/2} \left[T\right] \right] 
     1514  \quad&& \\ 
     1515  \biggl. 
     1516  &&+ \delta_k \left[A_w^{\,vT}\frac{e_{1t}\,e_{2t}} {e_{3t}}\delta_{k+1/2}\left[T\right]\right] 
     1517  \biggr\} && 
     1518\end{flalign*} 
     1519\begin{flalign*} 
     1520  \equiv - \sum\limits_{i,j,k} 
     1521  \biggl\{  \biggr.  \quad 
     1522  &    A_u^{\,lT} \left( \frac{1} {e_{1u}} \delta_{i+1/2} \left[ T \right]  \right)^2   e_{1u}\,e_{2u}\,e_{3u}    && \\ 
     1523  & + A_v^{\,lT} \left( \frac{1} {e_{2v}} \delta_{j+1/2} \left[ T \right]  \right)^2   e_{1v}\,e_{2v}\,e_{3v}     && \\ \biggl. 
     1524  & + A_w^{\,vT} \left( \frac{1} {e_{3w}} \delta_{k+1/2} \left[ T \right]   \right)^2    e_{1w}\,e_{2w}\,e_{3w}   \biggr\} 
     1525  \quad      \leq 0      && 
     1526\end{flalign*} 
    15231527 
    15241528%%%%  end of appendix in gm comment 
    15251529%} 
     1530\biblio 
     1531 
    15261532\end{document} 
Note: See TracChangeset for help on using the changeset viewer.